Brilio.net - Matematika adalah salah satu ilmu yang sangat menarik dan menyenangkan. Matematika tidak hanya mempelajari tentang deretan angka yang banyak, rumus yang kompleks, dan perhitungan yang ribet. Belajar matematika juga tentang pola, logika, dan kreativitas.
Matematika ternyata bisa diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti seni, musik, fisika, biologi, dan lain-lain. Salah satu materi matematika yang sering dipelajari adalah deret geometri.
BACA JUGA :
Rumus luas penampang, beserta cara mengerjakan contoh soalnya
Deret geometri adalah deret yang memiliki rasio antara suku-sukunya. Deret geometri bisa bersifat konvergen atau divergen, tergantung dari nilai rasio tersebut. Pada artikel kali ini, kita akan membahas tentang rumus deret geometri konvergen.
Untuk menyelesaikan soal rumus deret geometri konvergen cukup mudah lho, yuk simak penjelasan lengkap tentang rumus deret geometri konvergen, beserta ciri, contoh soal, dan cara pengerjaannya. Brilio.net menghimpun dari berbagai sumber pada Jumat (29/9).
Pengertian deret geometri konvergen.
BACA JUGA :
Macam-macam rumus sin cos tan, lengkap dengan contoh soal dan pembahasan yang mudah dipahami
foto: freepik.com
Deret geometri konvergen adalah deret matematika yang terdiri dari suku-suku yang merupakan hasil perkalian konstan dari suku sebelumnya dan memiliki nilai yang konstan. Dalam deret ini, setiap suku dibuat dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tertentu yang disebut "rasio geometri" (atau "common ratio" dalam bahasa Inggris).
Deret geometri konvergen dikatakan "konvergen" jika nilai rasio geometrinya memiliki magnitudo (nilai mutlak) kurang dari 1. Dalam kata lain, jika |r|
Contoh deret geometri konvergen:
1. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....
Di sini, rasio geometri adalah 1/2, yang memiliki magnitudo kurang dari 1, sehingga deret ini adalah deret geometri konvergen. Deret ini konvergen ke 2.
Ketika deret geometri konvergen memiliki rasio geometri |r|
S = a/1-r
Keterangan:
S adalah jumlah tak terbatas deret.
a adalah suku pertama dari deret.
r adalah rasio geometri.
Jadi, deret geometri konvergen adalah deret matematika di mana suku-suku berikutnya didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio geometri yang memiliki magnitudo kurang dari 1, dan deret ini memiliki jumlah tak terbatas yang dapat dihitung.
Ciri-ciri deret geometri konvergen.
foto: pexels.com
Deret geometri konvergen memiliki beberapa ciri-ciri khusus yang membedakannya dari deret lainnya. Berikut adalah ciri-ciri utama dari deret geometri konvergen:
1. Rasio geometri yang memiliki magnitudo kurang dari 1
Ciri yang paling penting dari deret geometri konvergen adalah bahwa rasio geometri (rasio antara dua suku berurutan) memiliki magnitudo (nilai mutlak) kurang dari 1. Dalam notasi matematika, |r|
2. Nilai suku-suku mendekati nol
Ketika deret geometri konvergen memiliki suku-suku yang semakin kecil seiring berjalannya waktu, atau lebih tepatnya, ketika suku-suku tersebut mendekati nol, ini menunjukkan bahwa deret tersebut konvergen. Semakin jauh kita melanjutkan deret, suku-suku tersebut akan semakin mendekati nol.
3. Jumlah tak terbatas yang dapat diukur
Deret geometri konvergen memiliki jumlah tak terbatas yang dapat dihitung. Ini berarti jika kita terus menambahkan suku-suku deret ini, maka jumlahnya akan mendekati suatu nilai tertentu, yang bisa kita hitung dengan rumus S = a/1-r.
4. Kebalikan dari rasio reometri
Jika deret geometri konvergen memiliki rasio geometri "r," maka deret tersebut juga akan memiliki kebalikan dari rasio geometri sebagai suku-sukunya. Artinya, jika suku pertama adalah "a," maka suku kedua adalah a/r, suku ketiga adalah a/r , dan seterusnya.
5. Positif atau negatif bergantian
Deret geometri konvergen bisa memiliki suku-suku yang positif atau negatif, tergantung pada apakah rasio geometrinya positif atau negatif. Dalam kedua kasus, deret ini dapat konvergen selama rasio geometrinya memiliki magnitudo kurang dari 1.
6. Tidak terbatas seiring pertambahan suku
Meskipun jumlah tak terbatas dari deret geometri konvergen dapat dihitung, deret ini akan terus berlanjut tanpa batas saat suku-suku tambahan ditambahkan. Namun, jumlahnya akan semakin mendekati suatu nilai tetap saat suku-suku lebih lanjut ditambahkan.
7. Tidak terpengaruh oleh pergeseran suku pertama
Deret geometri konvergen tidak akan berubah konvergensinya jika kita menggeser suku pertama (nilai "a") dengan konstanta. Dengan kata lain, perubahan nilai awal suku pertama tidak akan mempengaruhi sifat konvergen deret tersebut.
Contoh dan cara pengerjaan soal deret geometri konvergen.
foto: pexels.com
1. Tentukan jumlah tak terbatas dari deret geometri konvergen berikut:
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
Jawaban:
Dalam deret ini, suku pertama (a) adalah 2 dan rasio geometri (r) adalah 4/2 = 2. Karena rasio geometri ini lebih besar dari 1, maka deret ini akan divergen dan tidak memiliki jumlah tak terbatas yang dapat dihitung.
2. Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 m dan memantul kembali dengan ketinggian 80% dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang seluruh lintasan benda tersebut sampai berhenti memantul?
Jawaban:
Panjang seluruh lintasan benda tersebut adalah jumlah deret geometri konvergen dengan suku pertama 100 m dan rasio 0.8.
Rumus deret geometri konvergen adalah S = a/1r,
Keterangan:
S = jumlah deret
a = suku pertama
r = rasio.
Maka, panjang seluruh lintasan benda tersebut adalah:
S = 100/1 - 0,8 = 500 m
3. Sebuah virus menginfeksi satu sel dalam tubuh manusia. Setiap jam, virus tersebut akan menggandakan diri menjadi dua virus. Jika tidak ada pengobatan, berapakah jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam?
Jawaban:
Jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam adalah suku ke-25 dari deret geometri konvergen dengan suku pertama 1 dan rasio 2.
Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah un = ar^n1
Keterangan:
un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = nomor suku.
Maka, jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam adalah:
foto: Istimewa
4. Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s dari ketinggian 10 m. Jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s^2, berapakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut?
Jawaban:
Ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut adalah suku terbesar dari deret geometri konvergen dengan suku pertama 10 m dan rasio 1/2.
Rumus suku terbesar dari deret geometri konvergen adalah umax= a/1r,
Keterangan:
Umax = suku terbesar
a = suku pertama
r = rasio.
Maka, ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut adalah:
foto: Istimewa