Brilio.net - Sejak dibangku SMP kamu pasti tidak asing lagi dengan bidang aljabar linier. Salah satu materi aljabar yang kerap muncul dalam ujian sekolah adalah tentang invers matriks. Invers matriks adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks asal, hasilnya adalah matriks identitas.
Penting diketahui, matriks identitas adalah matriks yang mempunyai angka 1 di diagonal utama dan angka 0 di luar diagonal utama. Nah, rumus invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, mencari solusi matriks, dan melakukan operasi matriks lainnya.
BACA JUGA :
Rumus luas trapesium sama kaki beserta ciri dan contoh soalnya
Untuk menyelesaikan rumus invers matriks ini, brilio.net menjabarkan rumus invers matriks, pahami konsep, sifat, dan contoh soal. Dirangkum dari berbagai sumber pada Kamis (18/10).
Pengertian invers matriks.
foto: freepik.com
BACA JUGA :
Rumus dilatasi transformasi geometri lengkap dengan pengertian, karakteristik, dan contoh soal
Invers matriks adalah suatu matriks yang jika dikalikan dengan matriks asal, hasilnya adalah matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks yang memiliki angka 1 di diagonal utama dan angka 0 di luar diagonal utama. Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Invers matriks hanya ada untuk matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Untuk mencari invers suatu matriks, kita harus mengetahui determinan dan kofaktor dari matriks tersebut. Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Kofaktor adalah nilai yang didapatkan dengan mengalikan elemen matriks dengan determinan minor dan tanda negatif atau positif bergantung pada posisi elemen tersebut. Determinan minor adalah determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut.
Sifat-sifat invers matriks.
foto: freepik.com
Sifat invers matriks adalah sifat yang berlaku untuk matriks yang merupakan kebalikan dari matriks asal. Invers matriks dapat ditulis dengan simbol A1, yang berarti matriks yang jika dikalikan dengan matriks A, hasilnya adalah matriks identitas I. Matriks identitas adalah matriks yang memiliki angka 1 di diagonal utama dan angka 0 di luar diagonal utama.
Beberapa sifat-sifat invers matriks adalah sebagai berikut:
1. Invers matriks hanya ada untuk matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
2. Invers matriks hanya ada untuk matriks nonsingular, yaitu matriks yang memiliki determinan tidak sama dengan nol. Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi.
3. Invers matriks adalah tunggal, yaitu tidak ada lebih dari satu matriks yang dapat menjadi invers dari suatu matriks. Jika B dan C keduanya adalah invers dari A, maka B=C.
4. Invers dari invers suatu matriks adalah matriks itu sendiri. Jika B adalah invers dari A, maka invers dari B adalah A. Dapat ditulis (A^1)^1 = A.
5. Invers dari hasil kali dua atau lebih matriks adalah hasil kali invers-inversnya dalam urutan terbalik. Jika A dan B keduanya nonsingular, maka (AB)^1 = B^1 A^1.
6. Invers dari transpos suatu matriks adalah transpos dari inversnya. Transpos adalah operasi menukar baris dan kolom suatu matriks. Jika A nonsingular, maka (A^T)^1 = (A^1)^T.
Rumus invers matriks.
foto: freepik.com
invers matriks adalah rumus yang digunakan untuk mencari matriks yang merupakan kebalikan dari matriks asal. Matriks yang merupakan kebalikan dari matriks asal disebut invers matriks. Invers matriks memiliki sifat bahwa jika dikalikan dengan matriks asal, hasilnya adalah matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks yang memiliki angka 1 di diagonal utama dan angka 0 di luar diagonal utama.
Rumus invers matriks bergantung pada ordo atau ukuran matriks. Ordo matriks adalah jumlah baris dan kolom yang dimiliki oleh matriks. Baris adalah susunan angka secara horizontal, sedangkan kolom adalah susunan angka secara vertikal. Rumus invers matriks untuk ordo 2x2 dan 3x3 adalah sebagai berikut:
Rumus invers matriks ordo 2x2:
foto: Istimewa
A^1 adalah invers matriks A
detA adalah determinan matriks A, yaitu ad bc
a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks A yang disusun sebagai berikut:
foto: Istimewa
Rumus ini didapatkan dengan menukar elemen diagonal utama, memberi tanda negatif pada elemen lain, dan membagi setiap elemen dengan determinan.
Rumus invers matriks ordo 3x3:
foto: Istimewa
Keteragan:
A^1 adalah invers matriks A
detA adalah determinan matriks A, yaitu a(ei fh)b(di fg) + c(dh eg)
a, b, c, , i adalah elemen-elemen matriks A yang disusun sebagai berikut:
foto: Istimewa
- Aij adalah kofaktor dari elemen aij, yaitu (1)^i+j dikali determinan minor dari elemen tersebut. Determinan minor adalah determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut.
- (.)^T adalah simbol untuk transpos, yaitu menukar baris dan kolom dari suatu matriks.
Rumus ini didapatkan dengan menghitung kofaktor dari setiap elemen, lalu mentranspos hasilnya.
Contoh soal rumus invers matriks dan jawabannya.
foto: freepik.com
Contoh soal 1
Berikan matriks A berikut:
A = | 2 1 |
| 4 3 |
Hitung matriks invers dari A.
Jawaban:
Untuk menghitung matriks invers A^(-1), kita perlu menggunakan rumus invers matriks. Pertama, kita hitung determinan matriks A:
det(A) = (2 * 3) - (1 * 4) = 6 - 4 = 2
Kemudian, kita hitung matriks adjoin dari A:
Adjoin(A) = | 3 -1 |
| -4 2 |
Akhirnya, kita hitung matriks invers A^(-1) dengan membagi matriks adjoin A dengan determinan A:
A^(-1) = (1/2) * Adjoin(A) = (1/2) * | 3 -1 |
| -4 2 |
= | 1.5 -0.5 |
| -2.0 1.0 |
Contoh soal 2
Berikan matriks B berikut:
B = | 5 1 |
| 2 4 |
Hitung matriks invers dari B.
Jawaban:
Sama seperti sebelumnya, kita mulai dengan menghitung determinan matriks B:
det(B) = (5 * 4) - (1 * 2) = 20 - 2 = 18
Kemudian, kita hitung matriks adjoin dari B:
Adjoin(B) = | 4 -1 |
| -2 5 |
Selanjutnya, kita hitung matriks invers B^(-1) dengan membagi matriks adjoin B dengan determinan B:
B^(-1) = (1/18) * Adjoin(B) = (1/18) * | 4 -1 |
| -2 5 |
= | 4/18 -1/18 |
| -2/18 5/18 |
Sederhana, kita bisa menyederhanakan matriks invers B:
B^(-1) = | 2/9 -1/18 |
| -1/9 5/18 |
Contoh soal 3
Berikan matriks C berikut:
C = | 3 1 |
| 6 2 |
Hitung matriks invers dari C.
Jawaban:
Langkah pertama adalah menghitung determinan matriks C:
det(C) = (3 * 2) - (1 * 6) = 6 - 6 = 0
Karena determinan C adalah 0, ini menunjukkan bahwa matriks C adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Jadi, matriks C^(-1) tidak dapat dihitung.