Brilio.net - Persamaan kuadrat adalah salah satu materi matematika yang sering dipelajari di sekolah. Persamaan kuadrat memang sering dihindari banyak siswa. Pasalnya, rumus persamaan kuadrat sering dianggap sulit untuk dipecahkan. Padahal, jika bersungguh-sungguh memahami materi rumus persamaan kuadrat ini, kamu pasti dengan mudah menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan rumus persamaan kuadrat.
Secara sederhana, rumus persamaan kuadrat merupakan persamaan matematika yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Rumus persamaan kuadrat ini memiliki keunikan tersendiri. Untuk menjawab soal-soalnya bisa dilakukan dengan beberapa cara seperti faktorisasi maupun menggunakan cara kuadratik.
BACA JUGA :
Rumus interpolasi, lengkap dengan definisi, manfaat, dan contoh soal
Nah, supaya kamu lebih paham tentang rumus persamaan kuadrat ini, brilio.net mengulas lengkap tentang rumus persamaan kuadrat mulai dari pengertian, sifat, contoh soal dan cara pengerjaan soal, dilansir dari berbagai sumber pada Selasa (31/10). Yuk simak dibawah ini!
Definisi dan rumus persamaan kuadrat.
foto: freepik.com
BACA JUGA :
Rumus luas jajar genjang, pengertian, contoh soal dan cara mengerjakannya
Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:
ax + bx + c = 0
di mana a, b, c R dan a = tidak sama dengan 0.
Persamaan kuadrat juga disebut persamaan parabola karena jika digambarkan dalam grafik, akan membentuk kurva berbentuk parabola. Persamaan kuadrat memiliki dua akar, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Dalam persamaan kuadrat, tujuan utama adalah untuk menemukan nilai-nilai dari x yang memenuhi persamaan, yaitu nilai-nilai yang membuat kedua sisi persamaan menjadi sama (memuaskan persamaan). Nilai-nilai ini disebut akar atau solusi persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat memiliki dua solusi utama, yaitu akar-akar kuadrat. Akar-akar kuadrat ini dapat ditemukan menggunakan rumus persamaan kuadrat atau dengan menggunakan faktorisasi, metode pohon kuadrat, atau metode lainnya.
Jika diskriminan (bagian dalam rumus kuadrat) positif, maka persamaan memiliki dua akar berbeda. Jika diskriminan nol, maka persamaan memiliki satu akar ganda, dan jika diskriminan negatif, maka persamaan tidak memiliki akar real (solusi kompleks).
Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dapat menggunakan beberapa cara, di antaranya:
- Faktorisasi yaitu mencari dua faktor dari persamaan kuadrat yang jika dikalikan akan menghasilkan nol.
- Melengkapkan kuadrat sempurna yaitu mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk (x + p) = q dengan cara menambahkan atau mengurangi suku tertentu.
- Rumus kuadratik atau rumus ABC yaitu menggunakan rumus persamaan kuadrat berikut untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat:
x = -b b - 4ac / 2a
Sifat-sifat persamaan kuadrat.
foto: freepik.com
1. Mempunyai dua akar.
Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 selalu memiliki dua akar, yaitu dua nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Akar-akar ini mungkin berbeda, sama, atau bahkan tidak ada, tergantung pada diskriminan
2. Diskriminan.
Diskriminan (D) (b - 4ac). Sifat ini menentukan bagaimana akar-akar-akar persamaan kuadrat terdistribusi:
- Jika D > 0, maka persamaan memiliki dua akar berbeda.
- Jika D = 0, maka persamaan memiliki satu akar ganda.
- Jika D
3. Simetri.
Grafik fungsi kuadrat adalah simetris terhadap sumbu tegak lurus yang berada di tengah dua akarnya. Ini berarti jarak antara titik puncak (vertex) dan setiap akar adalah sama.
4. Titik puncak (vertex).
Titik puncak adalah titik maksimum atau minimum dari grafik fungsi kuadrat, tergantung pada tanda koefisien a. Jika > 0, maka titik puncak adalah minimum, dan jika a
5. Membuka ke atas atau ke bawah.
Koefisien a menentukan arah pembukaan grafik persamaan kuadrat. Jika a > 0, grafik membuka ke atas, dan jika a
6. Intersepsi dengan Sumbu-X:
Persamaan kuadrat selalu memotong sumbu-X pada dua titik (akar). Titik-titik ini adalah tempat di mana y = 0.
7. Hubungan antara koefisien dan akar.
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat (a, b, c) berhubungan dengan akar-akarnya. Misalnya, jumlah akar adalah -b/a dan hasil kali akar adalah c/a.
8. Asimtot horizontal.
Grafik persamaan kuadrat mendekati asimtot horizontal saat (x) menjadi sangat besar. Asimtot ini berada pada tingkat y = 0 jika a>0 (grafik membuka ke atas) atau y = jika a
9. Titik pusat.
Titik (h, k) adalah titik pusat dari grafik persamaan kuadrat yang memiliki bentuk (x h) = k dalam bentuk kuadrat sempurna.
Contoh soal seputar rumus persamaan kuadrat.
foto: freepik.com
1. Diketahui persamaan kuadrat x + 5 = 3 (x 1) memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax + bx + c = 0. Tentukan berapakah nilai-nilai koefisien a, b dan juga c dari persamaan kuadrat tersebut.
Jawab:
Untuk menentukan nilai-nilai koefisien a, b dan c, kita harus menyamakan koefisien-koefisien x yang berpangkat sama di kedua ruas persamaan. Dengan demikian, kita dapat menulis:
x + 5 = 3 (x 1) x + 5 = 3x 3 x - 3x + 8 = 0
Dari persamaan terakhir, kita dapat melihat bahwa:
a = 1 b = -3 c = 8
2. Diketahui persamaan kuadrat x - 3x + c = 0 mempunyai salah satu akar sebesar 5. Tentukan nilai c dan akar lainnya.
Jawab:
Karena salah satu akar dari persamaan kuadrat adalah 5, maka kita dapat mengganti x dengan 5 dan menyederhanakan persamaannya. Dengan demikian, kita dapat menulis:
x - 3x + c = 0 (5) - 3(5) + c = 0 25 - 15 + c = 0 c = -10
Untuk mencari akar lainnya, kita dapat menggunakan rumus ABC atau rumus kuadrat, yaitu:
x = -b b - 4ac / 2a
Dengan a = 1, b = -3 dan c = -10, kita dapat menghitung:
x = -(-3) (-3) -4(1)(-10) / 2(1)
x = 3 49 / 2
x = -2
Jadi, nilai c adalah -10 dan akar lainnya adalah -2.
3. Sebuah kelereng dijatuhkan dari atap suatu gedung. Persamaan gerak kelereng tersebut mengikuti persamaan ketinggian seperti berikut.
h (t) = 3x 12x -12
dengan t dalam s dan h dalam m
Waktu yang diperlukan kelereng untuk mencapai tanah adalah?
Jawab:
Saat menyentuh tanah, ketinggian bola = 0 atau h ( t) = 0. Dengan demikian h (t) = 3x 12x - 12 3x 12x - 12 = 0 x 4x 4 = 0 (x 2) (x 2) = 0 x = x = 2
Jadi, waktu yang diperlukan kelereng untuk menyentuh tanah adalah 2 s.
4. Andi berencana membeli sebidang tanah yang luasnya 80 m. Oleh karena suatu hal, si pemilik tanah tidak memberitahu Andi ukuran panjang dan lebarnya. Namun si pemilik tanah memberitahu bahwa jika panjang tanah ditambah lebar tanah hasilnya 20 m dan jika panjang tanah dikurangi lebar tanah hasilnya 4 m.
Tentukan ukuran panjang dan lebar tanah tersebut!
Jawab:
Misalkan panjang tanah adalah x m dan lebar tanah adalah y m. Maka kita dapat menulis dua persamaan sebagai berikut:
x + y = 20 x - y = 4
Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kita dapat menggunakan metode penjumlahan, yaitu dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut. Dengan demikian, kita dapat menulis:
(x + y) + (x - y) = 20 + 4 2x = 24 x = 12
Dari persamaan x + y = 20, kita dapat menentukan nilai y sebagai berikut:
x + y = 20 12 + y = 20 y = 8
Jadi, ukuran panjang tanah adalah 12 m dan ukuran lebar tanah adalah 8 m.
5. Nilai dari 2a + b c adalah:
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan metode pemfaktoran adalah sebagai berikut:
Faktorkan persamaan berikut.
x - x - 6 = 0
(x - 3) (x + 2) = 0
Dengan demikian, akar-akarnya adalah x
x = 3 x = -2
Dari bentuk umum persamaan kuadrat, kita dapat menentukan nilai a, b dan c sebagai berikut:
a = 1 b = -1 c = -6
Dengan demikian, nilai 2a + b c adalah:
2a + b c = 2 (1) + (-1) (-6) = 2 - 1 + 6 = 7