10 Contoh soal limit fungsi trigonometri, pahami pengertian dan rumusnya

Brilio.net - Memahami limit fungsi trigonometri merupakan salah satu konsep penting dalam kalkulus. Limit digunakan untuk menentukan nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu nilai tertentu.

Dalam konteks trigonometri, limit ini sering kali melibatkan fungsi seperti sin, cos, dan tan yang memiliki karakteristik unik ketika variabel mendekati angka tertentu, seperti nol atau /2. Dengan memahami limit ini, kamu bisa menyelesaikan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks.

Limit fungsi trigonometri tidak hanya penting dalam pendidikan formal, tetapi juga diterapkan dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Ketika menghadapi masalah nyata, kemampuan untuk memahami bagaimana sebuah fungsi berperilaku di sekitar titik tertentu dapat menjadi kunci untuk memprediksi hasil dan membuat keputusan yang tepat. Misalnya, dalam fisika, limit sering digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat dari sebuah objek ketika waktunya mendekati nilai tertentu.

Dalam artikel ini, brilio.net akan membahas contoh soal limit fungsi trigonometri beserta pembahasan rumus-rumus yang relevan. Dengan demikian, diharapkan pembaca tidak hanya mampu memahami konsep ini secara teoritis, tetapi juga dapat mengaplikasikannya dalam penyelesaian soal-soal.

Pengertian limit fungsi trigonometri

foto: freepik.com/freepik

Limit dalam matematika, khususnya dalam fungsi trigonometri, adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati angka tertentu. Ini menggambarkan perilaku fungsi saat variabel mendekati titik tertentu, memungkinkan kamu untuk memahami bagaimana fungsi tersebut berperilaku di sekitar titik tersebut.

Untuk mengevaluasi limit fungsi trigonometri, sering kali digunakan beberapa identitas dasar trigonometri, seperti identitas sudut ganda. Pendekatan yang cermat dan teliti diperlukan, terutama ketika fungsi mendekati titik yang menyebabkan fungsi trigonometri menjadi tidak terdefinisi atau menuju nilai ekstrem, seperti tak hingga atau nol.

Rumus dasar limit fungsi trigonometri

foto: freepik.com/stockking

Berikut adalah beberapa rumus dasar yang sering digunakan dalam menghitung limit fungsi trigonometri:

1. (lim_{{x to 0}} frac{{sin x}}{{x}} = 1)

2. (lim_{{x to 0}} frac{{1 - cos x}}{{x^2}} = frac{1}{2})

3. (lim_{{x to 0}} frac{{tan x}}{{x}} = 1)

Rumus-rumus ini menjadi dasar untuk menyelesaikan berbagai soal limit fungsi trigonometri, terutama ketika variabel mendekati nol.

Setelah mengetahui pengertian dan rumusnya, kamu juga wajib mengetahui lebih lanjut bagaimana contoh limit fungsi trigonometri yang telah brilio.net kumpulkan dari berbagai sumber, Kamis (5/9). Yuk, simak pembahasannya.

1. Soal:

(lim_{x to 0} frac{sin x}{x})

Pembahasan:

- Ini adalah limit fundamental dalam trigonometri.
- Nilai limit ini sudah dikenal secara luas dan sering digunakan dalam kalkulus.
- (lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1)

2. Soal:

(lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{x^2})

Pembahasan:

- Gunakan identitas trigonometri: (1 - cos x = 2sin^2 frac{x}{2}).
- Substitusi ke dalam limit menghasilkan:
[
lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{x^2} = lim_{x to 0} frac{2sin^2 frac{x}{2}}{x^2}
]
- Dengan menyederhanakan:

[
= lim_{x to 0} 2 cdot left(frac{sin frac{x}{2}}{frac{x}{2}}right)^2 cdot left(frac{1}{2}right)^2
]
- Hasil akhirnya adalah:

[
= 2 cdot 1^2 cdot frac{1}{4} = frac{1}{2}
]

3. Soal:

(lim_{x to 0} frac{tan x}{x})

Pembahasan:

- Gunakan definisi tangen: (tan x = frac{sin x}{cos x}).
- Evaluasi limit:
[
lim_{x to 0} frac{tan x}{x} = lim_{x to 0} frac{sin x}{x} cdot frac{1}{cos x}
]
- Hasil akhirnya adalah:

[
= 1 cdot 1 = 1
]

4. Soal:

(lim_{x to 0} frac{sin 3x}{x})

Pembahasan:

- Pisahkan menjadi:
[
lim_{x to 0} frac{sin 3x}{3x} cdot 3
]
- Evaluasi limit:
[
= lim_{x to 0} frac{sin 3x}{3x} cdot 3 = 1 cdot 3 = 3
]

5. Soal:

(lim_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3})

Pembahasan:

- Gunakan ekspansi deret Taylor untuk (sin x): (sin x = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - dots)
- Evaluasi limit:
[
lim_{x to 0} frac{sin x - x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{left(x - frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - dotsright) - x}{x^3}
]
- Sederhanakan:
[
= lim_{x to 0} frac{-frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} - dots}{x^3} = -frac{1}{6}
]

6. Soal:

(lim_{x to frac{pi}{2}} frac{cos x}{x - frac{pi}{2}})

Pembahasan:

- Ini adalah limit dalam bentuk (frac{0}{0}), gunakan aturan L'Hpital.
- Evaluasi limit:
[
lim_{x to frac{pi}{2}} frac{cos x}{x - frac{pi}{2}} = lim_{x to frac{pi}{2}} frac{-sin x}{1} = -1
]

7. Soal:

(lim_{x to 0} frac{sin 2x}{sin 3x})

Pembahasan:

- Gunakan limit fundamental trigonometri.
- Evaluasi limit:
[
lim_{x to 0} frac{sin 2x}{sin 3x} = lim_{x to 0} frac{2x}{3x} cdot frac{sin 2x}{2x} cdot frac{3x}{sin 3x}
]
- Hasil akhirnya adalah:
[
= frac{2}{3} cdot 1 cdot 1 = frac{2}{3}
]

8. Soal:

(lim_{x to 0} left(frac{sin x}{x}right)^{frac{1}{x^2}})

Pembahasan:

- Gunakan properti logaritma: (ln y = frac{1}{x^2} lnleft(frac{sin x}{x}right)).
- Evaluasi limit dengan menggunakan aturan L'Hpital dua kali.
- Hasil akhirnya adalah:
[
y = e^{-frac{1}{6}}
]

9. Soal:

(lim_{x to 0} frac{cos x - 1}{sin x})

Pembahasan:

- Kalikan dengan (frac{cos x + 1}{cos x + 1}).
- Sederhanakan dan evaluasi limit:
[
lim_{x to 0} frac{cos x - 1}{sin x} = lim_{x to 0} frac{cos^2 x - 1}{sin x(cos x + 1)} = lim_{x to 0} frac{-sin^2 x}{sin x(cos x + 1)}
]
- Hasil akhirnya adalah:
[
= lim_{x to 0} frac{-sin x}{cos x + 1} = 0
]

10. Soal:

(lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3})

Pembahasan:

- Gunakan ekspansi deret Taylor untuk (tan x) dan (sin x):
[
tan x = x + frac{x^3}{3} + dots quad text{dan} quad sin x = x - frac{x^3}{6} + dots
]
- Sederhanakan dan evaluasi limit:
[
lim_{x to 0} frac{tan x - sin x}{x^3} = lim_{x to 0} frac{left(x + frac{x^3}{3} + dotsright) - left(x - frac{x^3}{6} + dotsright)}{x^3}
]
- Hasil akhirnya adalah:
[
= lim_{x to 0} frac{frac{x^3}{3} + frac{x^3}{6} + dots}{x^3} = frac{1}{3} + frac{1}{6} = frac{1}{2}

]