20 Contoh soal kombinasi, lengkap dengan penjelasannya

Brilio.net - Rumus kombinasi jadi konsep penting yang sering digunakan pelajaran matematika, terutama dalam perhitungan peluang. Kombinasi memungkinkan kamu menghitung berapa banyak cara untuk memilih beberapa objek dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutan.

Memahami soal kombinasi sangatlah penting bagi siswa yang belajar tentang probabilitas dan statistik. Melalui contoh soal kombinasi pula, kamu dapat memahami lebih dalam cara kerja rumus kombinasi dalam situasi sehari-hari.

Pasalnya kombinasi sering digunakan dalam berbagai bidang seperti penelitian, bisnis, dan ilmu komputer untuk menghitung kemungkinan suatu peristiwa terjadi. Dengan mempelajari contoh soal kombinasi, kamu dapat menguasai konsep ini dengan lebih mudah dan jelas.

Supaya makin paham, berikut ini ulasan lengkap 20 Contoh soal kombinasi serta pembahasannya yang disadur brilio.net dari berbagai sumber, Kamis (19/9).

Definisi kombinasi.

foto: freepik.com

Kombinasi merupakan cara memilih beberapa objek dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutan. Dalam kombinasi, urutan pemilihan tidak penting, berbeda dengan permutasi yang memperhitungkan urutan.

Kombinasi sering digunakan dalam konteks perhitungan peluang, seperti menghitung berapa banyak cara memilih tim dari sekelompok orang, atau memilih item tertentu dari kumpulan barang.

Misalnya, jika kamu ingin memilih 3 dari 5 orang untuk membentuk tim, maka rumus kombinasi digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang berbeda, tim tersebut dapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan anggota.

Rumus Kombinasi.

Rumus untuk menghitung kombinasi dari n objek yang dipilih r objek adalah:

C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)

Di mana:

n adalah jumlah total elemen
r adalah jumlah elemen yang dipilih
! melambangkan faktorial

Contoh soal kombinasi.

foto: freepik.com

1. Dari 10 buku, berapa cara memilih 3 buku?

Pembahasan:
- Kita menggunakan rumus kombinasi: C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)

- Di sini, n = 10 (total buku) dan r = 3 (buku yang dipilih)

- C(10,3) = 10! / (3! * 7!)

- 10! = 3,628,800

- 3! = 6

- 7! = 5,040

- C(10,3) = 3,628,800 / (6 * 5,040) = 3,628,800 / 30,240 = 120

Jadi, ada 120 cara berbeda untuk memilih 3 buku dari 10 buku.

2. Ada 8 orang dalam sebuah tim. Berapa cara memilih 5 orang untuk tugas khusus?

Pembahasan:
- Menggunakan rumus: C(8,5) = 8! / (5! * 3!)

- 8! = 40,320

- 5! = 120

- 3! = 6

- C(8,5) = 40,320 / (120 * 6) = 40,320 / 720 = 56

Ada 56 cara berbeda untuk memilih 5 orang dari 8 orang untuk tugas khusus.

3. Berapa cara memilih 4 kartu dari setumpuk 52 kartu?

Pembahasan:
- Menggunakan rumus: C(52,4) = 52! / (4! * 48!)

- 52! adalah angka yang sangat besar, jadi kita akan menyederhanakan perhitungan:

- C(52,4) = (52 * 51 * 50 * 49) / (4 * 3 * 2 * 1)

- = 6,497,400 / 24 = 270,725

Terdapat 270,725 cara berbeda untuk memilih 4 kartu dari 52 kartu.

4. Dari 15 siswa, berapa cara memilih 7 siswa untuk lomba?

Pembahasan:
- C(15,7) = 15! / (7! * 8!)

- 15! = 1,307,674,368,000

- 7! = 5,040

- 8! = 40,320

- C(15,7) = 1,307,674,368,000 / (5,040 * 40,320) = 6,435

Ada 6,435 cara berbeda untuk memilih 7 siswa dari 15 siswa.

5. Ada 20 soal pilihan ganda. Siswa harus menjawab 15 soal. Berapa pilihan yang mungkin?

Pembahasan:
- C(20,15) = 20! / (15! * 5!)

- 20! = 2,432,902,008,176,640,000

- 15! = 1,307,674,368,000

- 5! = 120

- C(20,15) = 2,432,902,008,176,640,000 / (1,307,674,368,000 * 120) = 15,504

Siswa memiliki 15,504 pilihan berbeda untuk memilih 15 soal dari 20 soal.

6. Berapa cara memilih 3 warna dari 7 warna yang tersedia?

Pembahasan:
- C(7,3) = 7! / (3! * 4!)

- 7! = 5,040

- 3! = 6

- 4! = 24

- C(7,3) = 5,040 / (6 * 24) = 5,040 / 144 = 35

Ada 35 cara berbeda untuk memilih 3 warna dari 7 warna.

7. Dari 12 anggota komite, berapa cara memilih 4 orang untuk subkomite?

Pembahasan:
- C(12,4) = 12! / (4! * 8!)

- 12! = 479,001,600

- 4! = 24

- 8! = 40,320

- C(12,4) = 479,001,600 / (24 * 40,320) = 479,001,600 / 967,680 = 495

Terdapat 495 cara berbeda untuk memilih 4 orang dari 12 anggota komite.

8. Ada 9 titik pada sebuah lingkaran. Berapa segitiga yang dapat dibentuk?

Pembahasan:
- Setiap segitiga dibentuk oleh 3 titik, jadi kita menggunakan C(9,3)

- C(9,3) = 9! / (3! * 6!)

- 9! = 362,880

- 3! = 6

- 6! = 720

- C(9,3) = 362,880 / (6 * 720) = 362,880 / 4,320 = 84

Ada 84 segitiga berbeda yang dapat dibentuk dari 9 titik pada lingkaran.

9. Berapa cara memilih 6 buah dari keranjang berisi 10 buah?

Pembahasan:
- C(10,6) = 10! / (6! * 4!)

- 10! = 3,628,800

- 6! = 720

- 4! = 24

- C(10,6) = 3,628,800 / (720 * 24) = 3,628,800 / 17,280 = 210

Ada 210 cara berbeda untuk memilih 6 buah dari 10 buah.

10. Dari 25 pemain sepak bola, berapa cara memilih 11 pemain untuk tim inti?

Pembahasan:
- C(25,11) = 25! / (11! * 14!)

- 25! dan 14! adalah angka yang sangat besar, jadi kita akan menyederhanakan:

- C(25,11) = (25 * 24 * 23 * ... * 15) / (11 * 10 * 9 * ... * 1)

- Setelah perhitungan, hasilnya adalah 4,457,400

Terdapat 4,457,400 cara berbeda untuk memilih 11 pemain dari 25 pemain.

11. Ada 8 jenis es krim. Berapa cara memilih 3 rasa untuk sundae?

Pembahasan:
- C(8,3) = 8! / (3! * 5!)

- 8! = 40,320

- 3! = 6

- 5! = 120

- C(8,3) = 40,320 / (6 * 120) = 40,320 / 720 = 56

Ada 56 cara berbeda untuk memilih 3 rasa dari 8 jenis es krim.

12. Dari 30 siswa, berapa cara memilih 2 ketua kelas?

Pembahasan:
- C(30,2) = 30! / (2! * 28!)

- Kita bisa menyederhanakan: C(30,2) = (30 * 29) / 2

- C(30,2) = 870 / 2 = 435

Terdapat 435 cara berbeda untuk memilih 2 ketua kelas dari 30 siswa.

13. Ada 14 peserta rapat. Berapa cara memilih 5 orang untuk tim presentasi?

Pembahasan:
- C(14,5) = 14! / (5! * 9!)

- 14! = 87,178,291,200

- 5! = 120

- 9! = 362,880

- C(14,5) = 87,178,291,200 / (120 * 362,880) = 87,178,291,200 / 43,545,600 = 2,002

Ada 2,002 cara berbeda untuk memilih 5 orang dari 14 peserta rapat.

14. Berapa cara memilih 4 huruf dari kata "MATEMATIKA"?

Pembahasan:
- "MATEMATIKA" memiliki 10 huruf, dengan 2 M, 3 A, 2 T, dan masing-masing 1 untuk E, I, K

- Total kombinasi tanpa mempertimbangkan pengulangan: C(10,4) = 210

- Kita perlu mengurangi kombinasi dengan pengulangan:

a) 2 M dan 2 A: C(2,2) * C(3,2) = 1 * 3 = 3
b) 2 T dan 2 A: C(2,2) * C(3,2) = 1 * 3 = 3
c) 3 A dan 1 huruf lain: C(7,1) * C(3,3) = 7 * 1 = 7

- Jumlah kombinasi yang valid = 210 - (3 + 3 + 7) = 210 - 13 = 197

Terdapat 197 cara berbeda untuk memilih 4 huruf dari kata "MATEMATIKA".

15. Dari 20 bola, 8 merah dan 12 biru, berapa cara memilih 5 bola merah dan 3 bola biru?

Pembahasan:
- Kita perlu memilih 5 bola merah dari 8: C(8,5)

- Dan 3 bola biru dari 12: C(12,3)

- C(8,5) = 8! / (5! * 3!) = 40,320 / (120 * 6) = 56

- C(12,3) = 12! / (3! * 9!) = 479,001,600 / (6 * 362,880) = 220

- Total kombinasi = 56 * 220 = 12,320

Ada 12,320 cara berbeda untuk memilih 5 bola merah dan 3 bola biru.

16. Ada 6 pria dan 4 wanita. Berapa cara memilih komite 3 orang dengan setidaknya 1 wanita?

Pembahasan:
- Total cara memilih 3 dari 10: C(10,3) = 120

- Cara memilih 3 pria (tanpa wanita): C(6,3) = 20

- Komite dengan setidaknya 1 wanita = Total - Komite hanya pria

- Jadi, jumlah cara = 120 - 20 = 100

Terdapat 100 cara berbeda untuk memilih komite 3 orang dengan setidaknya 1 wanita.

17. Berapa cara memilih 3 bilangan genap dari bilangan 1 sampai 10?

Pembahasan:
- Bilangan genap dari 1 sampai 10 adalah 2, 4, 6, 8, 10 (5 bilangan)

- Kita perlu memilih 3 dari 5 bilangan ini

- C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10

Ada 10 cara berbeda untuk memilih 3 bilangan genap dari bilangan 1 sampai 10.

18. Dari 15 orang, berapa cara memilih 7 orang untuk tim A dan 5 orang untuk tim B?

Pembahasan:
- Pertama, pilih 7 orang untuk tim A: C(15,7) = 6,435

- Dari 8 orang yang tersisa, pilih 5 untuk tim B: C(8,5) = 56

- Total kombinasi = C(15,7) * C(8,5) = 6,435 * 56 = 360,360

Terdapat 360,360 cara berbeda untuk memilih 7 orang untuk tim A dan 5 orang untuk tim B dari 15 orang.

19. Ada 7 titik pada satu garis. Berapa banyak segmen garis yang dapat dibentuk?

Pembahasan:
- Setiap segmen garis dibentuk oleh 2 titik

- Kita menggunakan kombinasi C(7,2)

- C(7,2) = 7! / (2! * 5!) = 5,040 / (2 * 120) = 5,040 / 240 = 21

Ada 21 segmen garis berbeda yang dapat dibentuk dari 7 titik pada satu garis.

20. Dari alfabet 26 huruf, berapa cara memilih 5 huruf berbeda?

Pembahasan:
- Ini adalah kasus langsung dari C(26,5)

- C(26,5) = 26! / (5! * 21!)

- 26! = 403,291,461,126,605,635,584,000,000

- 5! = 120

- 21! = 51,090,942,171,709,440,000

- C(26,5) = 403,291,461,126,605,635,584,000,000 / (120 * 51,090,942,171,709,440,000) = 65,780

Terdapat 65,780 cara berbeda untuk memilih 5 huruf dari 26 huruf alfabet.