25 Contoh soal Aritmatika, lengkap dengan rumus dan pembahasannya yang mudah dipahami

Brilio.net - Aritmatika adalah cabang dasar dari matematika yang berkaitan dengan studi tentang bilangan dan operasi dasar yang melibatkan bilangan tersebut. Secara sederhana, aritmatika mencakup empat operasi dasar yaitu Penjumlahan (+), Pengurangan (-), Perkalian () dan Pembagian ().

Mengutip dari britannica.com, istilah aritmatika berasal dari kata arithmos dalam bahasa Yunani yang berarti angka. Walau berasal dari bahasa Yunani, sebenarnya aritmatika ini sudah ada jauh sebelum orang Yunani menemukan kata aritmos. Bahkan, jauh sebelum orang menemukan angka.

Dalam perhitungan aritmatika, ada yang disebut dengan barisan dan deret aritmatika. Rumus barisan aritmatika terdiri dari 3 variabel yaitu yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Secara matematis, suku ke-n (Un) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut:

Un = a + (n-1)b

Dengan penjelasan:

Un = suku ke-n;

a = suku ke-1;

n = posisi suku yang ditanyakan; dan

b = selisih (Un-1 Un).

Sedangkan deret aritmatika masih memuat tentang variabel a, b, c, dan n. Adapun rumus deret aritmatika dinyatakan sebagai berikut:

Sn = n/2(a + Un )

Sn = n/2(2a + (n-1)b)

Dengan penjelasan:

Sn = jumlah n suku pertama;

n = urutan suku;

a = suku pertama; dan

b = selisih atau beda antarsuku.

Apa yang membedakan barisan dan deret aritmatika?

foto: freepik.com

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwasannya perbedaan barisan dan deret aritmatika bahwa barisan masih berupa urutan bilangannya, tetapi untuk deret sudah berupa operasi penjumlahan dari bilangan tersebut. Sealin itu, rumus dari barisan dan deretr juga berbeda.

Untuk mendalami lebih dalam tentang aritmatika, kamu bisa menyimak 25 contoh soal aritmatika yang telah brilio.net rangkum dari berbagai sumber, Selasa (30/7).

Contoh soal aritmatika

1. Tentukan suku ke-5 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, ...

Pembahasan:

- Suku pertama (a) = 2

- Beda (b) = 5 - 2 = 3

- Rumus:

Un = a + (n-1)b

- U5 = 2 + (5-1)3 = 2 + 12 = 14

Jawaban:

Suku ke-5 adalah 14

2. Carilah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 3, 7, 11, 15, ...

Pembahasan:

- a = 3, b = 4

- Rumus:

Sn = n/2(2a + (n-1)b)

- S10 = 10/2(2(3) + (10-1)4)

- S10 = 5(6 + 36) = 5(42) = 210

Jawaban:

Jumlah 10 suku pertama adalah 210

3. Tentukan beda dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, ...

Pembahasan:

- Beda = suku kedua - suku pertama = 1 - 4 = -3

Jawaban:

Beda barisan adalah -3

4. Carilah suku pertama dari barisan aritmatika jika suku ke-4 adalah 19 dan suku ke-7 adalah 31.

Pembahasan:

- U4 = 19, U7 = 31

- U7 - U4 = 3b, maka 31 - 19 = 3b, b = 4

- U4 = a + 3b = 19, maka a + 12 = 19, a = 7

Jawaban:

Suku pertama adalah 7

5. Dalam suatu barisan aritmatika, U3 + U7 = 20 dan U4 + U8 = 24. Tentukan beda barisan tersebut.

Pembahasan:

- (a + 2b) + (a + 6b) = 20

- (a + 3b) + (a + 7b) = 24

- Kurangkan persamaan kedua dari yang pertama: b = 4

Jawaban:

Beda barisan adalah 4

6. Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmatika dengan a = 5 dan b = 3

Pembahasan:

- Gunakan rumus:

Un = a + (n-1)b

- U20 = 5 + (20-1)3 = 5 + 57 = 62

Jawaban:

Suku ke-20 adalah 62

7. Hitunglah jumlah dari deret aritmatika 2 + 5 + 8 + ... + 92.

Pembahasan:

- a = 2, b = 3, Un = 92

- n = (Un - a)/b + 1 = (92 - 2)/3 + 1 = 31

- Sn = n/2(a + Un) = 31/2(2 + 92) = 1457

Jawaban:

Jumlah deret adalah 1457

8. Jika suku ke-5 dan suku ke-9 dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 11 dan 19, tentukan suku pertamanya.

Pembahasan:

- U5 = 11, U9 = 19

- U9 - U5 = 4b, maka 19 - 11 = 4b, b = 2

- U5 = a + 4b = 11, maka a + 8 = 11, a = 3

Jawaban:

Suku pertama adalah 3

9. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret aritmatika dengan a = 4 dan b = 3.

Pembahasan:

- Gunakan rumus:

Sn = n/2(2a + (n-1)b)

- S25 = 25/2(2(4) + (25-1)3)

- S25 = 25/2(8 + 72) = 25(40) = 1000

Jawaban:

Jumlah 25 suku pertama adalah 1000

10. Dalam suatu barisan aritmatika, jumlah suku ke-3 dan suku ke-7 sama dengan 26, sedangkan jumlah suku ke-5 dan suku ke-10 sama dengan 39. Tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut.

Pembahasan:

- (a + 2b) + (a + 6b) = 26

- (a + 4b) + (a + 9b) = 39

- Dari persamaan pertama: 2a + 8b = 26

- Dari persamaan kedua: 2a + 13b = 39

- Kurangkan persamaan pertama dari kedua: 5b = 13, b = 2.6

- Substitusi ke persamaan pertama: 2a + 8(2.6) = 26, a = 5.6

- U15 = 5.6 + 14(2.6) = 42

Jawaban:

Suku ke-15 adalah 42

11. Tentukan suku tengah dari barisan aritmatika dengan 11 suku, dimana suku pertama adalah 7 dan suku terakhir adalah 27.

Pembahasan:

- Suku tengah = (a + Un)/2

- Suku tengah = (7 + 27)/2 = 17

Jawaban:

Suku tengah adalah 17

12. Jika jumlah 20 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 570 dan jumlah 30 suku pertamanya 1320, tentukan suku ke-25.

Pembahasan:

- S20 = 570, S30 = 1320

- S30 - S20 = 10U25 = 750

- U25 = 75

Jawaban:

Suku ke-25 adalah 75

13. Dalam suatu barisan aritmatika, U3 - U1 = 12 dan U6 - U3 = 15. Tentukan beda dan suku pertama barisan tersebut.

Pembahasan:

- U3 - U1 = 2b = 12, b = 6

- U6 - U3 = 3b = 15, b = 5

- Karena b harus sama, maka ada kesalahan dalam soal. Kita gunakan b = 6.

- U3 = a + 2b = a + 12

- U6 = a + 5b = a + 30

- U6 - U3 = 18 = 15 (sesuai soal)

- a + 12 = U3, maka a = U3 - 12

Jawaban:

b = 6, a = U3 - 12

14. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 5.

Pembahasan:

- Bilangan yang habis dibagi 5: 5, 10, 15, ..., 95, 100

- Ini adalah deret aritmatika dengan a = 5, b = 5, Un = 100

- n = (Un - a)/b + 1 = (100 - 5)/5 + 1 = 20

- Sn = n/2(a + Un) = 20/2(5 + 100) = 1050

Jawaban:

Jumlahnya adalah 1050

15. Jika diketahui U5 + U10 = 70 dan U7 + U12 = 94 dari suatu barisan aritmatika, tentukan nilai a dan b.

Pembahasan:

- U5 + U10 = 2a + 14b = 70

- U7 + U12 = 2a + 18b = 94

- Kurangkan persamaan kedua dari pertama: 4b = 24, b = 6

- Substitusi ke persamaan pertama: 2a + 14(6) = 70, a = -11

Jawaban:

a = -11, b = 6

16. Tentukan jumlah 50 suku pertama dari deret aritmatika 4 + 7 + 10 + ...

Pembahasan:

- a = 4, b = 3

- Gunakan rumus: Sn = n/2(2a + (n-1)b)

- S50 = 50/2(2(4) + (50-1)3)

- S50 = 25(8 + 147) = 25(155) = 3875

Jawaban:

Jumlah 50 suku pertama adalah 3875

17. Dalam suatu barisan aritmatika, jumlah suku ke-3, ke-7, dan ke-11 adalah 57. Jika suku ke-8 adalah 23, tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.

Pembahasan:

- U3 + U7 + U11 = 57

- (a + 2b) + (a + 6b) + (a + 10b) = 57

- 3a + 18b = 57 ... (1)

- U8 = a + 7b = 23 ... (2)

- Dari (2): a = 23 - 7b

- Substitusi ke (1): 3(23 - 7b) + 18b = 57

- 69 - 21b + 18b = 57

- 69 - 3b = 57

- -3b = -12

- b = 4

- Substitusi b = 4 ke (2): a = 23 - 7(4) = -5

Jawaban:

a = -5, b = 4

18. Tentukan suku ke-100 dari barisan aritmatika jika diketahui suku ke-10 adalah 37 dan suku ke-20 adalah 67.

Pembahasan:

- U20 - U10 = 10b, 67 - 37 = 10b, b = 3

- U10 = a + 9b = 37, a = 37 - 27 = 10

- U100 = a + 99b = 10 + 99(3) = 307

Jawaban:

Suku ke-100 adalah 307

19. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 3n^2 + 2n, tentukan suku ke-10 dari deret tersebut.

Pembahasan:

- Sn = 3n^2 + 2n

- Un = Sn - S(n-1)

- U10 = S10 - S9

- U10 = (3(10^2) + 2(10)) - (3(9^2) + 2(9))

- U10 = (300 + 20) - (243 + 18) = 320 - 261 = 59

Jawaban:

Suku ke-10 adalah 59

20. Dalam suatu barisan aritmatika, jumlah suku ke-4 dan suku ke-6 sama dengan 38, sedangkan jumlah suku ke-7 dan suku ke-9 sama dengan 54. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut.

Pembahasan:

- U4 + U6 = 38

- (a + 3b) + (a + 5b) = 38

- 2a + 8b = 38 ... (1)

- U7 + U9 = 54

- (a + 6b) + (a + 8b) = 54

- 2a + 14b = 54 ... (2)

- Kurangkan (1) dari (2): 6b = 16, b = 8/3

- Substitusi ke (1): 2a + 8(8/3) = 38, a = 5

- U12 = a + 11b = 5 + 11(8/3) = 5 + 88/3 = 99/3 = 33

Jawaban:

Suku ke-12 adalah 33

21. Soal: Tentukan jumlah semua bilangan ganjil positif yang kurang dari 100.

Pembahasan:

- Bilangan ganjil positif kurang dari 100: 1, 3, 5, ..., 97, 99

- Ini adalah deret aritmatika dengan a = 1, b = 2, Un = 99

- n = (Un - a)/b + 1 = (99 - 1)/2 + 1 = 50

- Sn = n/2(a + Un) = 50/2(1 + 99) = 25(100) = 2500

Jawaban: Jumlahnya adalah 2500

22. Dalam suatu barisan aritmatika, jumlah suku ke-2, ke-5, dan ke-8 adalah 69. Jika jumlah suku ke-4, ke-6, dan ke-8 adalah 81, tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.

Pembahasan:

- U2 + U5 + U8 = 69

- (a + b) + (a + 4b) + (a + 7b) = 69

- 3a + 12b = 69 ... (1)

- U4 + U6 + U8 = 81

- (a + 3b) + (a + 5b) + (a + 7b) = 81

- 3a + 15b = 81 ... (2)

- Kurangkan (1) dari (2): 3b = 12, b = 4

- Substitusi ke (1): 3a + 48 = 69, a = 7

Jawaban: a = 7, b = 4

23. Jika suku ke-n dari suatu barisan aritmatika adalah Un = 2n + 3, tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret tersebut.

Pembahasan: