20 Contoh soal peluang kejadian majemuk, lengkap dengan penyelesaiannya

Brilio.net - Saat belajar Matematika, tak asing dengan salah satu materinya yaitu peluang. Dalam materi peluang, tidak hanya memprediksi kemungkinan satu hal saja, namun bisa dua bahkan lebih. Dan hal tersebut melalui peluang kejadian majemuk.

Peluang kejadian majemuk merupakan rangkaian beberapa kejadian yang dihubungkan kata hubung "dan" (dapat dilambangkan dengan ∩ ) serta "atau' (dapat dilambangkan dengan ∪).

Dan dirumuskan dengan :

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Peluang kejadian majemuk juga dapat disebut sebuah cara untuk memprediksi seberapa besar kemungkinan terjadinya suatu hal di masa depan. Contohnya, ketika melempar dua dadu, lalu elo mencari peluang munculnya dadu berjumlah 3 atau berjumlah 10. Maka, yang dimaksud dengan kejadian pertama adalah munculnya dadu berjumlah 3 dan kejadian kedua adalah munculnya dadu berjumlah 10.

Jenis Peluang Kejadian Majemuk

Terdapat beberapa kejadian yang disebut sebagai kejadian majemuk. Berikut ini jenis-jenis peluang kejadian majemuk, antara lain:

1. Kejadian Majemuk Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan :

P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Majemuk Saling Tidak Lepas

Dua kejadian A dan B disebut tidak saling lepas jika terdapat minimal satu elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terdapat pada kejadian B. Peluang salah satu A dan B mungkin terjadi dengan A dan B adalah kejadian tidak saling lepas. Dengan rumusnya:

P (A∪B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

3. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan tetapi tidak saling mempengaruhi.
Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi :

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Untuk mengetahui lebih lanjut, berikut ulasannya terkait contoh soal peluang kejadian majemuk beserta pembahasannya yang dapat dipelajari. Semua telah dirangkum brilio.net dari berbagai sumber pada Senin (17/10).

foto: pixabay.com

Contoh soal 1

Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut?

Jawab:
• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5/12 dan P(biru) = 7/12

• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}.

P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = (5/12) x (5/12) = 22/144

P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = (5/12) x (7/12) = 35/144

P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = (7/12) x (5/12) = 35/144

P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = (7/12) x (7/12) = 49/144

Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut :

Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P (A ∩ B) adalah :

P(A ∩ B)=P(A) x P(B)

 

Penulis: Magang/Annisa Dheaning Triprasiwi

 

Contoh soal 2

Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilangan :

a. kelipatan 4 dan nomor 9;
b. ganjil dan genap

Jawab:
a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah :

P (kelipatan 4) = 2/14 , peluang bola bernomor 9 adalah P(9) = 1/11.

Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9) = P (kelipatan 4) × P(9) = (2/11) x (1/11) = 2/121

b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah :

P (ganjil) = 6/11, peluang bola bernomor bilangan genap adalah P(genap) = 5/11.

Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah :

P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap) = (6/11) x (5/11) = 30/121

Contoh soal 3

Jika Rani melempar dua buah mata dadu. Nilai semestanya adalah 36. Peluang muncul mata dadu yang berjumlah 2 atau 4 yaitu?

Jawab:
n (S) = 36

A (munculnya mata dadu berjumlah 2) = {1,1}, n(A) = 1

B (munculnya mata dadu berjumlah 4) = {1,3, 2,2, 3,1}, n(B) = 3

Kalau digambarkan pada diagram venn maka tidak ada anggota A dan B yang beririsan, seperti gambar di bawah ini.

Maka, menggunakan rumus peluang kejadian majemuk saling lepas.

P(A∪ B) = P(A) + P(B)

P(A) = n(A)/n(S) =1/36

P(B) = n(B)/n(S) = 3/36

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = 1/36 + 3/36

P(A ∪ B) = 4/36

P(A ∪ B) = 1/9

Jadi, jawabannya adalah 1/9.

Contoh soal 4

Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang habis dibagi 5 dan B adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 4, maka tentukanlah peluang :
(a) P(A ∩ B)
(b) P(A U B)

Jawab:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , n(S) = 6
A = {5} , n(A) = 1
B = {4} , n(B) = 1

Karena A dan B saling lepas, maka:
(a) P(A ∩ B) = 0
(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) + =

Contoh soal 5

Dalam pelemparan sebuah mata dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil atau prima.

Jawab:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A) = n(A)/n(S) = 3/6

P(B) = n(B)/n(S) = 3/6

P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 2/6

Kemudian masukkan rumus:

P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 – 2/6

P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3

Jadi, jawaban adalah 2/3.

Contoh soal 6

Dalam sebuah kelas yang terdiri dari 40 siswa, ada 20 siswa yang suka olahraga, 15 siswa yang suka seni, dan 5 siswa yang suka keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang suka keduanya. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

dimana:

A = kejadian siswa yang suka olahraga
B = kejadian siswa yang suka seni
P(A) = peluang siswa yang suka olahraga = 20/40 = 1/2
P(B) = peluang siswa yang suka seni = 15/40 = 3/8
P(A ∩ B) = peluang siswa yang suka olahraga dan seni = 5/40 = 1/8

Maka:

P(A ∪ B) = 1/2 + 3/8 - 1/8
P(A ∪ B) = 7/8

Jadi, peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni adalah 7/8.

Contoh soal 7

Sebuah dadu bermata enam dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7.

Jawab:

Peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7 adalah peluang kejadian saling lepas, karena tidak ada elemen yang sama dari kedua kejadian tersebut. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

dimana:

A = kejadian jumlah mata dadu genap
B = kejadian jumlah mata dadu lebih dari 7
P(A) = peluang jumlah mata dadu genap = 18/36 = 1/2
P(B) = peluang jumlah mata dadu lebih dari 7 = 15/36 = 5/12

Maka:

P(A ∪ B) = 1/2 + 5/12
P(A ∪ B) = 17/24

Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7 adalah 17/24.

foto: freepik.com

Contoh soal 8

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu.

Jawab:

Peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu adalah peluang kejadian saling bebas, karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya. Rumusnya adalah:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

dimana:

A = kejadian munculnya gambar pada koin
B = kejadian munculnya angka 5 pada dadu
P(A) = peluang munculnya gambar pada koin = 1/2
P(B) = peluang munculnya angka 5 pada dadu = 1/6

Maka:

P(A ∩ B) = 1/2 x 1/6
P(A ∩ B) = 1/12

Jadi, peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu adalah 1/12.

Contoh soal 9

Dari 30 siswa yang mengikuti ujian, 18 siswa lulus matematika, 15 siswa lulus bahasa Inggris, dan 12 siswa lulus keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang tidak lulus keduanya. Rumusnya adalah:

P(A' ∪ B') = P(A') + P(B') - P(A' ∩ B')

dimana:

A = kejadian siswa lulus matematika
B = kejadian siswa lulus bahasa Inggris
A' = kejadian siswa tidak lulus matematika
B' = kejadian siswa tidak lulus bahasa Inggris
P(A) = peluang siswa lulus matematika = 18/30 = 3/5
P(B) = peluang siswa lulus bahasa Inggris = 15/30 = 1/2
P(A ∩ B) = peluang siswa lulus matematika dan bahasa Inggris = 12/30 = 2/5
P(A') = peluang siswa tidak lulus matematika = 1 - P(A) = 1 - 3/5 = 2/5
P(B') = peluang siswa tidak lulus bahasa Inggris = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2
P(A' ∩ B') = peluang siswa tidak lulus matematika dan bahasa Inggris = 1 - P(A ∪ B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A ∩ B)) = 1 - (3/5 + 1/2 - 2/5) = 1 - 7/10 = 3/10

Maka:

P(A' ∪ B') = 2/5 + 1/2 - 3/10
P(A' ∪ B') = 7/10

Jadi, peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris adalah 7/10.

Contoh soal 10

Sebuah kartu dipilih secara acak dari setumpuk kartu remi yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as.

Jawab:

Peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada kartu yang merupakan hati dan as. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

dimana:

A = kejadian kartu hati
B = kejadian kartu as
P(A) = peluang kartu hati = 13/52 = 1/4
P(B) = peluang kartu as = 4/52 = 1/13
P(A ∩ B) = peluang kartu hati dan as = 1/52

Maka:

P(A ∪ B) = 1/4 + 1/13 - 1/52
P(A ∪ B) = 16/52

Jadi, peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as adalah 16/52.

Contoh soal 11

Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu 7 atau 11.

Jawab:

Peluang munculnya jumlah mata dadu 7 atau 11 adalah peluang kejadian saling lepas, karena tidak ada elemen yang sama dari kedua kejadian tersebut. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

dimana:

A = kejadian jumlah mata dadu 7
B = kejadian jumlah mata dadu 11
P(A) = peluang jumlah mata dadu 7 = 6/36 = 1/6
P(B) = peluang jumlah mata dadu 11 = 2/36 = 1/18

Maka:

P(A ∪ B) = 1/6 + 1/18
P(A ∪ B) = 4/18

Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu 7 atau 11 adalah 4/18.

Contoh soal 12

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya angka pada koin dan angka ganjil pada dadu.

Jawab:

Peluang munculnya angka pada koin dan angka ganjil pada dadu adalah peluang kejadian saling bebas, karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya. Rumusnya adalah:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

dimana:

A = kejadian munculnya angka pada koin
B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu
P(A) = peluang munculnya angka pada koin = 1/2
P(B) = peluang munculnya angka ganjil pada dadu = 3/6 = 1/2

Maka:

P(A ∩ B) = 1/2 x 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

Jadi, peluang munculnya angka pada koin dan angka ganjil pada dadu adalah 1/4.

Contoh soal 13

Dari 40 siswa yang mengikuti ujian, 25 siswa lulus fisika, 20 siswa lulus kimia, dan 10 siswa lulus keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih lulus fisika dan tidak lulus kimia.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih lulus fisika dan tidak lulus kimia adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang lulus fisika dan kimia. Rumusnya adalah:

P(A ∩ B') = P(A) - P(A ∩ B)

dimana:

A = kejadian siswa lulus fisika
B = kejadian siswa lulus kimia
B' = kejadian siswa tidak lulus kimia
P(A) = peluang siswa lulus fisika = 25/40 = 5/8
P(B) = peluang siswa lulus kimia = 20/40 = 1/2
P(A ∩ B) = peluang siswa lulus fisika dan kimia = 10/40 = 1/4

Maka:

P(A ∩ B') = 5/8 - 1/4
P(A ∩ B') = 3/8

Jadi, peluang siswa yang terpilih lulus fisika dan tidak lulus kimia adalah 3/8.

Contoh soal 14

Sebuah kartu dipilih secara acak dari setumpuk kartu remi yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang kartu yang terpilih adalah kartu keriting atau kartu bernomor 10.

Jawab:

Peluang kartu yang terpilih adalah kartu keriting atau kartu bernomor 10 adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada kartu yang merupakan keriting dan 10. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

dimana:

A = kejadian kartu keriting
B = kejadian kartu bernomor 10
P(A) = peluang kartu keriting = 13/52 = 1/4
P(B) = peluang kartu bernomor 10 = 4/52 = 1/13
P(A ∩ B) = peluang kartu keriting dan 10 = 1/52

Maka:

P(A ∪ B) = 1/4 + 1/13 - 1/52
P(A ∪ B) = 16/52

Jadi, peluang kartu yang terpilih adalah kartu keriting atau kartu bernomor 10 adalah 16/52.

Contoh soal 15

Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 5 atau lebih dari 9.

Jawab:

Peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 5 atau lebih dari 9 adalah peluang kejadian saling lepas, karena tidak ada elemen yang sama dari kedua kejadian tersebut. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

dimana:

A = kejadian jumlah mata dadu kurang dari 5
B = kejadian jumlah mata dadu lebih dari 9
P(A) = peluang jumlah mata dadu kurang dari 5 = 6/36 = 1/6
P(B) = peluang jumlah mata dadu lebih dari 9 = 6/36 = 1/6

Maka:

P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6
P(A ∪ B) = 2/6

Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 5 atau lebih dari 9 adalah 2/6.

foto: freepik.com

Contoh soal 16

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya gambar pada koin dan angka prima pada dadu.

Jawab:

Peluang munculnya gambar pada koin dan angka prima pada dadu adalah peluang kejadian saling bebas, karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya. Rumusnya adalah:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

dimana:

A = kejadian munculnya gambar pada koin
B = kejadian munculnya angka prima pada dadu
P(A) = peluang munculnya gambar pada koin = 1/2
P(B) = peluang munculnya angka prima pada dadu = 3/6 = 1/2

Maka:

P(A ∩ B) = 1/2 x 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

Jadi, peluang munculnya gambar pada koin dan angka prima pada dadu adalah 1/4.

Contoh soal 17

Dari 50 siswa yang mengikuti ujian, 30 siswa lulus biologi, 25 siswa lulus geografi, dan 15 siswa lulus keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih tidak lulus biologi dan tidak lulus geografi.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih tidak lulus biologi dan tidak lulus geografi adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang tidak lulus keduanya. Rumusnya adalah:

P(A' ∩ B') = P(A') - P(A' ∪ B')

dimana:

A = kejadian siswa lulus biologi
B = kejadian siswa lulus geografi
A' = kejadian siswa tidak lulus biologi
B' = kejadian siswa tidak lulus geografi
P(A) = peluang siswa lulus biologi = 30/50 = 3/5
P(B) = peluang siswa lulus geografi = 25/50 = 1/2
P(A ∩ B) = peluang siswa lulus biologi dan geografi = 15/50 = 3/10
P(A') = peluang siswa tidak lulus biologi = 1 - P(A) = 1 - 3/5 = 2/5
P(B') = peluang siswa tidak lulus geografi = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2
P(A' ∪ B') = peluang siswa tidak lulus biologi atau geografi = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 3/10 = 7/10

Maka:

P(A' ∩ B') = 2/5 - 7/10
P(A' ∩ B') = -1/10

Jadi, peluang siswa yang terpilih tidak lulus biologi dan tidak lulus geografi adalah -1/10.

Contoh soal 18

Sebuah kartu dipilih secara acak dari setumpuk kartu remi yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang kartu yang terpilih adalah kartu wajik atau kartu bernomor ganjil.

Jawab:

Peluang kartu yang terpilih adalah kartu wajik atau kartu bernomor ganjil adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada kartu yang merupakan wajik dan ganjil. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

dimana:

A = kejadian kartu wajik
B = kejadian kartu bernomor ganjil
P(A) = peluang kartu wajik = 13/52 = 1/4
P(B) = peluang kartu bernomor ganjil = 20/52 = 5/13
P(A ∩ B) = peluang kartu wajik dan ganjil = 6/52 = 3/26

Maka:

P(A ∪ B) = 1/4 + 5/13 - 3/26
P(A ∪ B) = 25/52

Jadi, peluang kartu yang terpilih adalah kartu wajik atau kartu bernomor ganjil adalah 25/52.

Contoh soal 19

Dua dadu bermata enam dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 5 atau 10.

Jawab:

Peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 5 atau 10 adalah peluang kejadian saling lepas, karena tidak ada elemen yang sama dari kedua kejadian tersebut. Rumusnya adalah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

dimana:

A = kejadian jumlah mata dadu sama dengan 5
B = kejadian jumlah mata dadu sama dengan 10
P(A) = peluang jumlah mata dadu sama dengan 5 = 4/36 = 1/9
P(B) = peluang jumlah mata dadu sama dengan 10 = 3/36 = 1/12

Maka:

P(A ∪ B) = 1/9 + 1/12
P(A ∪ B) = 7/36

Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu sama dengan 5 atau 10 adalah 7/36.

Contoh soal 20

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya angka pada koin dan angka lebih dari 4 pada dadu.

Jawab:

Peluang munculnya angka pada koin dan angka lebih dari 4 pada dadu adalah peluang kejadian saling bebas, karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya. Rumusnya adalah:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

dimana:

A = kejadian munculnya angka pada koin
B = kejadian munculnya angka lebih dari 4 pada dadu
P(A) = peluang munculnya angka pada koin = 1/2
P(B) = peluang munculnya angka lebih dari 4 pada dadu = 2/6 = 1/3

Maka:

P(A ∩ B) = 1/2 x 1/3
P(A ∩ B) = 1/6

Jadi, peluang munculnya angka pada koin dan angka lebih dari 4 pada dadu adalah 1/6.