Macam-macam rumus permutasi, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya

Brilio.net - Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang mencakup berbagai konsep yang penting dalam pemecahan masalah, pengambilan keputusan, dan pemodelan dunia nyata. Salah satu konsep yang memiliki peran besar dalam matematika adalah permutasi. 

Permutasi adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang berkaitan dengan pengaturan atau penyusunan elemen atau objek dalam urutan tertentu. Dalam permutasi, urutan pengaturan elemen tersebut sangatlah penting, sehingga permutasi yang berbeda akan menghasilkan urutan yang berbeda pula.

Konsep ini diterapkan dalam berbagai konteks dalam matematika, termasuk kombinatorika, teori graf, statistik, dan banyak lagi. Pemahaman tentang permutasi memungkinkan kita untuk menghitung berbagai kemungkinan pengaturan atau susunan objek, yang memiliki aplikasi dalam berbagai bidang.

Dalam permutasi ini terdapat beberapa rumus. Rumus permutasi tentu berperan penting dalam memecahkan soal-soal yang kamu dapatkan di sekolah. Berikut ini macam-macam rumus permutasi, lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Seperti dihimpun brilio.net dari berbagai sumber, Kamis (7/9).

Pengertian Permutasi.

foto: freepik.com

Permutasi adalah istilah yang digunakan untuk menggambarkan pengaturan atau penyusunan elemen-elemen atau objek-objek dalam urutan tertentu. Permutasi menganggap bahwa urutan pengaturan elemen tersebut sangatlah penting, sehingga permutasi yang berbeda akan menghasilkan urutan yang berbeda pula. Dalam permutasi, kamu sering menggunakan simbol "P" untuk menyatakan permutasi, diikuti dengan jumlah objek atau elemen yang akan diatur.

Rumus Permutasi.

Rumus permutasi yang paling sederhana adalah permutasi sederhana, di mana kamu menghitung berapa banyak cara kamu dapat mengatur n objek yang berbeda. Rumus permutasi sederhana adalah:

P(n)=n!

dengan n adalah jumlah objek yang akan diatur. Simbol "!" (faktorial) menunjukkan perkalian dari semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n.

Contoh Perhitungan Permutasi:

Mari kita lihat beberapa contoh perhitungan permutasi:

Contoh 1:

Berapa banyak cara kita bisa mengatur 4 buah buku berbeda dalam rak buku?

P(4)=4!=4×3×2×1=24

Jadi, ada 24 cara berbeda untuk menyusun 4 buah buku dalam rak buku.

Contoh 2:

Berapa banyak kata yang dapat kita buat dari huruf-huruf dalam kata "MATEMATIKA"?

P(10)=10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3,628,800

Jadi, terdapat 3,628,800 cara berbeda untuk mengatur huruf-huruf dalam kata "MATEMATIKA".

Pengaplikasian permutasi

Permutasi memiliki banyak aplikasi di luar matematika murni. Beberapa contohnya meliputi:

Statistik: 

Dalam statistik, permutasi digunakan untuk menghitung jumlah cara yang berbeda untuk mengatur elemen-elemen dalam sampel statistik.

Ilmu Komputer: 

Dalam pemrograman dan algoritma, permutasi digunakan dalam algoritma permutasi untuk menghasilkan semua kemungkinan pengaturan objek.

Teori Graf: 

Dalam teori graf, permutasi digunakan untuk menghitung jumlah jalur yang berbeda dalam graf.

Permutasi Sederhana:

Permutasi sederhana adalah permutasi yang menghitung banyaknya cara menyusun n objek secara berbeda. Rumus permutasi sederhana adalah:

P(n)=n!

dengan n adalah jumlah objek yang akan diatur.

Contoh Soal 1:

Berapa banyak cara kita bisa menyusun 4 buah buku yang berbeda dalam rak buku?

Pembahasan 1:

Dalam kasus ini, n = 4 (jumlah buku). Menggunakan rumus permutasi sederhana, kita bisa menghitungnya sebagai berikut:

P(4)=4!=4×3×2×1=24

Jadi, ada 24 cara berbeda untuk menyusun 4 buah buku dalam rak buku.

Permutasi dengan pengulangan:

Permutasi dengan pengulangan digunakan ketika beberapa elemen dapat muncul lebih dari satu kali dalam urutan yang dihasilkan. Rumus permutasi dengan pengulangan adalah:

foto: Istimewa

Contoh Soal 2:

Berapa banyak kata yang bisa dibuat dari kata "MATHEMATIKA"?

Pembahasan 2:

Kata "MATHEMATIKA" terdiri dari 11 huruf, dengan 3 huruf A, 2 huruf M, 2 huruf T, dan sisanya berbeda. Menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan, kita dapat menghitungnya sebagai berikut:

foto: Istimewa

Jadi, ada 9,072,000 kata yang dapat dibuat dari kata "MATHEMATIKA".

Permutasi dengan Pemilihan:

Permutasi dengan pemilihan digunakan ketika kita hanya ingin mengatur r elemen dari n elemen yang tersedia. Rumus permutasi dengan pemilihan adalah:

foto: Istimewa

dengan n adalah jumlah total objek, dan r adalah jumlah objek yang akan diatur.

Contoh Soal 3:

Berapa banyak angka tiga digit yang dapat kita buat dengan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika setiap angka hanya boleh digunakan sekali?

Pembahasan 3:

Dalam kasus ini, n = 5 (jumlah angka yang tersedia) dan r = 3 (jumlah angka yang akan diatur). 

Manfaat pemahaman permutasi

foto: freepik.com

Pemecahan masalah

Pemahaman tentang permutasi memungkinkan siswa dan profesional matematika untuk mengatasi berbagai masalah pemodelan yang melibatkan pengaturan objek-objek. Ini dapat diterapkan dalam berbagai konteks, termasuk dalam dunia nyata.

Pengambilan keputusan

Dalam statistik, permutasi membantu dalam pengambilan keputusan berdasarkan data. Misalnya, dalam uji hipotesis, pemahaman tentang permutasi dapat digunakan untuk menghitung nilai-nilai kritis dan memahami distribusi data.

Pengembangan teknologi

Di bidang ilmu komputer dan teknologi, pemahaman tentang permutasi menjadi kunci dalam pengembangan algoritma dan pemrograman komputer. Hal ini penting dalam pengembangan perangkat lunak, keamanan komputer, dan analisis data.