Rumus deret aritmatika lengkap dengan pengertian, soal dan cara penyelesaiannya

Brilio.net - Deret aritmatika adalah sala satu materi dalam pelajaran ilmu matematika. Materi ini juga bisa ditemukan dalam kehidupan sehari-hari lho.

Contoh materi deret aritmatika, uang saku seorang anak saat SD Rp 5 ribu, lalu saat SMP bertambah jadi Rp 10 ribu, dan saat SMA menjadi Rp 20 ribu. Peningkatan uang saku tersebut juga termasuk salah satu penerapan deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, deret aritmatika adalah sebuah rangkaian bilangan atau suku-suku berurutan yang memiliki selisih (beda) yang konstan antara satu suku dengan suku berikutnya. Dalam deret aritmatika, setiap suku dapat ditemukan dengan menambahkan beda (selisih) antara dua suku berturut-turut.

Nah supaya lebih memahami materi tentang deret aritmatika, berikut brilio.net rangkum rumus deret aritmatika lengkap dengan pengertian dan cara penyelesaiannya dari berbagai sumber pada Kamis (12/10).

Pengertian deret aritmatika.

foto: pexels.com

Deret aritmatika adalah salah satu konsep penting dalam ilmu matematika. Ini adalah tipe deret atau rangkaian bilangan yang memiliki sifat-sifat tertentu yang membuatnya mudah dipelajari dan dimengerti.

Beberapa aspek penting tentang deret aritmatika dalam ilmu matematika adalah:

1. Sifat dasar.

Deret aritmatika terdiri dari suku-suku berturut-turut yang memiliki selisih konstan antara satu suku dengan suku berikutnya. Dengan kata lain, setiap suku dapat ditemukan dengan menambahkan beda (selisih) yang sama ke suku sebelumnya.

2. Rumus umum

Terdapat rumus umum yang digunakan untuk menghitung suku apa pun dalam deret aritmatika, yaitu an = a1 +(n−1)⋅d, di mana an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, n adalah posisi suku, dan d adalah beda (selisih).

3. Contoh Penggunaan.

Deret aritmatika banyak digunakan dalam berbagai bidang matematika, sains, ekonomi, dan ilmu lainnya. Contoh penerapannya dapat ditemukan dalam perhitungan statistik, pemodelan pertumbuhan, penelitian ilmiah, dan pemecahan masalah matematika.

4. Pengembangan dan Penerapan.

Konsep deret aritmatika adalah dasar bagi berbagai jenis deret lainnya, seperti deret geometri dan deret Fourier. Selain itu, deret aritmatika digunakan dalam berbagai konteks seperti pemahaman tren data, pemodelan ekonomi, dan analisis algoritma.

 

 

 

Rumus deret aritmatika.

foto: pexels.com

Deret aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih yang sama. Deret aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis.

Berikut adalah rumus deret aritmatika:

Sn = n/2(a1 + an)

Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmatika, a1 adalah suku pertama, dan an adalah suku ke-n.

Contoh soal deret aritmatika.

foto: pexels.com

1. Tentukan suku ke-12 dari deret aritmatika berikut: 6, 10, 14, 18, ...

Pembahasan:

Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 6 dan beda (d) adalah 4. Kita ingin mencari suku ke-12 (a12).

Gunakan rumus deret aritmatika:

an = a1 +(n−1)⋅d.

a12 = 6 + (12 − 1) x 4 = 6 + 11 x 4 = 6 + 44 = 50

Jadi, suku ke-12 adalah 50.

2. Hitung jumlah dari 10 suku pertama deret aritmatika berikut: 3, 7, 11, 15, ...

Pembahasan:
Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 3, beda (d) adalah 4, dan kita ingin mencari jumlah 10 suku pertama (S10).

Gunakan rumus jumlah deret aritmatika:

Sn = n/2 x [2a1 + (n−1)x d]

S10 = 10/2 x [2⋅3 + (10−1) x 4]= 5 x [6 + 36] = 5 x 42 = 210.

Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 210.

3. Dalam deret aritmatika berikut, suku pertama (a1) adalah 12 dan jumlah suku pertama 56. Tentukan beda (d) dan suku ke-15 (a15).

Pembahasan:
Dalam deret ini, a1 = 12, S1 = 56, dan kita ingin mencari d dan a15.

Kita tahu bahwa S1 = a1, sehingga S1 = 12.

Kemudian, kita dapat menggunakan rumus

Sn = n/2 [2a1 +(n − 1) x d] untuk menghitung d.

56 = 1/2 x [2 x 12 +(1 − 1) x d]

56 = 12 + 0 x d

56 = 12

Jadi, d=0.

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika

an = a1 +(n − 1) x d untuk menghitung a15.

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus deret aritmatika

a15 = 12 + (15 − 1) x 0 = 12

Jadi, a15 = 12 dan d = 0.

4. Dalam deret aritmatika, suku pertama (a1) adalah 8, beda (d) adalah -2. Tentukan suku ke-6 (a6).

Pembahasan:
Dalam deret ini, a1 = 8 dan d = −2. Kita ingin mencari suku ke-6 (a6).

Gunakan rumus deret aritmatika:

an = a1 +(n − 1) x d.

a6 =8 + (6 − 1) x (−2)= 8 + 5 x (−2) = 8 − 10 = −2.

Jadi, suku ke-6 adalah -2.

5. Hitung jumlah dari 15 suku pertama deret aritmatika berikut: 4, 7, 10, 13, ...

Pembahasan:
Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 4, beda (d) adalah 3, dan kita ingin mencari jumlah 15 suku pertama (S15).

Gunakan rumus jumlah deret aritmatika:

Sn = n/2 [2a1 +(n − 1) x d].

S15 = 15/2 x [2⋅4 + (15 − 1) x 3]= 15/2 x [8 + 14 x 3]
= 15/2 x [8 + 42]
= 15/2 x 50 = 375.

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah 375.

6. Tentukan suku ke-20 dari deret aritmatika berikut: 3, 6, 9, 12, ...

Pembahasan:
Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 3 dan beda (d) adalah 3. Kita ingin mencari suku ke-20 (a20).

Gunakan rumus deret aritmatika:

an = a1 +(n−1)⋅d.

a20 = 3 + (20 − 1) x 3
= 3 + 19 x 3
= 3 + 57 = 60.

Jadi, suku ke-20 adalah 60.

7. Hitung jumlah dari 12 suku pertama deret aritmatika berikut: 5, 10, 15, 20, ...

Pembahasan:
Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 5, beda (d) adalah 5, dan kita ingin mencari jumlah 12 suku pertama (S12).

Gunakan rumus jumlah deret aritmatika:

Sn = n/2 [2a1 +(n − 1) x d].

S12 = 12/2 x [2⋅5 + (12 − 1) x 5]
= 6 x [10 + 55]
= 6 x 65 = 390.

Jadi, jumlah 12 suku pertama adalah 390.

8. Dalam deret aritmatika berikut, suku pertama (a1) adalah 7 dan jumlah suku pertama 91. Tentukan beda (d) dan suku ke-10 (a10).

Pembahasan:
Dalam deret ini, a1 = 7, S1 = 91, dan kita ingin mencari d dan a10.

Kita tahu bahwa S1 = a1, sehingga S1 = 7.

Gunakan rumus jumlah deret aritmatika:

Sn = n/2 [2a1 +(n − 1) x d].

91 = 1/2x [2⋅7 + (1 − 1) x d]
91 = 14 + 0 x d
91 = 14

Jadi, d = 0.

selanjutnya, bisa menggunakan rumus deret aritmatika an = a1 +(n−1)⋅d untuk menghitung a10.

a10 = 7 + (10 - 1) x 0 = 7

Jadi, a10 = 7 dan d = 0.

9. Dalam deret aritmatika, suku pertama (a1) adalah 20, beda (d) adalah -3. Tentukan suku ke-8 (a8).

Pembahasan:
Dalam deret ini, a1 = 20 dan d = −3. Kita ingin mencari suku ke-8 (a8).

Gunakan rumus deret aritmatika:

an = a1 +(n−1)⋅d.

a8 = 20 + (8 - 1) x (-3)
= 20 + 7 x (-3)
= 20 - 21 = -1

Jadi, suku ke-8 adalah -1.

10. Hitung jumlah dari 15 suku pertama deret aritmatika berikut: 4, 7, 10, 13, ...

Pembahasan:
Dalam deret ini, suku pertama (a1) adalah 4, beda (d) adalah 3, dan kita ingin mencari jumlah 15 suku pertama (S15).

Gunakan rumus jumlah deret aritmatika:

Sn = n/2 [2a1 +(n − 1) x d].

S15 = 15/2 x [2 x 4 + (15 - 1) x 3]
= 15/2 x [8 + 42]
= 15/2 x 50 = 375.

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah 375.