Rumus deret geometri konvergen, beserta ciri, contoh soal, dan cara pengerjaannya

Ciri-ciri deret geometri konvergen.

foto: pexels.com

Deret geometri konvergen memiliki beberapa ciri-ciri khusus yang membedakannya dari deret lainnya. Berikut adalah ciri-ciri utama dari deret geometri konvergen:

1. Rasio geometri yang memiliki magnitudo kurang dari 1

Ciri yang paling penting dari deret geometri konvergen adalah bahwa rasio geometri (rasio antara dua suku berurutan) memiliki magnitudo (nilai mutlak) kurang dari 1. Dalam notasi matematika, |r| < 1, di mana "r" adalah rasio geometri. Jika rasio ini lebih besar dari 1, maka deret geometri akan divergen (tidak konvergen).

2. Nilai suku-suku mendekati nol

Ketika deret geometri konvergen memiliki suku-suku yang semakin kecil seiring berjalannya waktu, atau lebih tepatnya, ketika suku-suku tersebut mendekati nol, ini menunjukkan bahwa deret tersebut konvergen. Semakin jauh kita melanjutkan deret, suku-suku tersebut akan semakin mendekati nol.

3. Jumlah tak terbatas yang dapat diukur

Deret geometri konvergen memiliki jumlah tak terbatas yang dapat dihitung. Ini berarti jika kita terus menambahkan suku-suku deret ini, maka jumlahnya akan mendekati suatu nilai tertentu, yang bisa kita hitung dengan rumus S = a/1-r.

4. Kebalikan dari rasio reometri

Jika deret geometri konvergen memiliki rasio geometri "r," maka deret tersebut juga akan memiliki kebalikan dari rasio geometri sebagai suku-sukunya. Artinya, jika suku pertama adalah "a," maka suku kedua adalah a/r, suku ketiga adalah a/r³ , dan seterusnya.

5. Positif atau negatif bergantian

Deret geometri konvergen bisa memiliki suku-suku yang positif atau negatif, tergantung pada apakah rasio geometrinya positif atau negatif. Dalam kedua kasus, deret ini dapat konvergen selama rasio geometrinya memiliki magnitudo kurang dari 1.

6. Tidak terbatas seiring pertambahan suku

Meskipun jumlah tak terbatas dari deret geometri konvergen dapat dihitung, deret ini akan terus berlanjut tanpa batas saat suku-suku tambahan ditambahkan. Namun, jumlahnya akan semakin mendekati suatu nilai tetap saat suku-suku lebih lanjut ditambahkan.

7. Tidak terpengaruh oleh pergeseran suku pertama

Deret geometri konvergen tidak akan berubah konvergensinya jika kita menggeser suku pertama (nilai "a") dengan konstanta. Dengan kata lain, perubahan nilai awal suku pertama tidak akan mempengaruhi sifat konvergen deret tersebut.

Contoh dan cara pengerjaan soal deret geometri konvergen.

foto: pexels.com

1. Tentukan jumlah tak terbatas dari deret geometri konvergen berikut:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

Jawaban:

Dalam deret ini, suku pertama (a) adalah 2 dan rasio geometri (r) adalah 4/2 = 2. Karena rasio geometri ini lebih besar dari 1, maka deret ini akan divergen dan tidak memiliki jumlah tak terbatas yang dapat dihitung.

2. Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 m dan memantul kembali dengan ketinggian 80% dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang seluruh lintasan benda tersebut sampai berhenti memantul?

Jawaban:

Panjang seluruh lintasan benda tersebut adalah jumlah deret geometri konvergen dengan suku pertama 100 m dan rasio 0.8.

Rumus deret geometri konvergen adalah S = a/1−r,

Keterangan:
S = jumlah deret
a = suku pertama
r = rasio.
Maka, panjang seluruh lintasan benda tersebut adalah:

S = 100/1 - 0,8 = 500 m

3. Sebuah virus menginfeksi satu sel dalam tubuh manusia. Setiap jam, virus tersebut akan menggandakan diri menjadi dua virus. Jika tidak ada pengobatan, berapakah jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam?

Jawaban:
Jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam adalah suku ke-25 dari deret geometri konvergen dengan suku pertama 1 dan rasio 2.

Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah un = ar^n−1

Keterangan:
un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = nomor suku.
Maka, jumlah virus dalam tubuh manusia setelah 24 jam adalah:

foto: Istimewa

4. Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s dari ketinggian 10 m. Jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s^2, berapakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut?

Jawaban:

Ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut adalah suku terbesar dari deret geometri konvergen dengan suku pertama 10 m dan rasio 1/2.

Rumus suku terbesar dari deret geometri konvergen adalah umax= a/1−r,

Keterangan:
Umax = suku terbesar
a = suku pertama
r = rasio.
Maka, ketinggian maksimum yang dicapai oleh bola tersebut adalah:

foto: Istimewa