Rumus deret geometri tak hingga, beserta pengertian, ciri, dan contoh soalnya

Brilio.net - Pelajaran tentang geometri memang nggak asing lagi bagi siswa-siswi SMA. Pasalnya materi geometri memang tak terlepas dari materi matematika yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika yang sering kamu temui dalam soal-soal ujian. Meski terkesan sulit karena punya banyak angka. Namun cara menghitung deret geometri tidak terlalu sulit.

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan dan bernilai konstan. Nilai konstan tersebut disebut rasio. Sementara deret geometri tak hingga adalah cara untuk menghitung jumlah suku dari deretan geometri tersebut.

Berikut penjelasan lebih lengkap tentang deret geometri tak hingga beserta pengertian, jenis, dan contoh soalnya. Brilio.net menghimpun dari berbagai sumber, Selasa (12/9).

Pengertian deret geometri tak hingga.

foto: pexels.com

Pengertian rumus deret geometri tak hingga adalah rumus untuk menghitung jumlah suku-suku dari suatu deret geometri yang memiliki banyak suku yang tidak terbatas. Deret geometri adalah deret yang memenuhi sifat hasil bagi dua suku berurutan yang bernilai konstan, yang disebut rasio.

Rumus deret geometri tak hingga tergantung dari nilai rasio tersebut. Jika nilai rasio berada di antara -1 dan 1, maka deret geometri tak hingga disebut konvergen, yaitu memiliki jumlah yang terbatas. Rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah:

S∞ = a/(1-r)

Keterangan:
S∞ adalah jumlah deret geometri tak hingga konvergen
a adalah suku pertama
r adalah rasio.

Jika nilai rasio lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1, maka deret geometri tak hingga disebut divergen, yaitu memiliki jumlah yang tidak terbatas. Rumus deret geometri tak hingga divergen adalah:

S∞ = ± ∞

Keterangan:
± tergantung dari tanda rasio.

Ciri deret geometri tak hingga.

foto: pexels.com

1. Memiliki nilai rasio tetap.
Suku-suku dalam deret geometri tak hingga memiliki rasio yang tetap antara satu suku dengan suku berikutnya. Rasio ini biasanya disimbolkan sebagai "r."

2. Tidak memiliki jumlah akhir.
Deret geometri tak hingga tidak memiliki jumlah akhir atau batas tertentu. Ini berarti deret ini terus berlanjut hingga tak terhingga.

3. Terbagi dalam dua jenis konvergen atau divergen.
Konvergensi atau divergensi deret geometri tak hingga tergantung pada nilai absolut dari rasio (|r|). Jika |r| kurang dari 1, deret ini akan konvergen ke suatu nilai tertentu. Jika |r| lebih besar dari atau sama dengan 1, deret ini akan divergen, yang berarti tidak memiliki jumlah akhir.

4. Mempunyai variasi nilai.
Deret geometri tak hingga bisa berupa deret peningkatan atau deret penurunan, tergantung pada apakah rasio (r) positif atau negatif. Jika rasio (r) positif, deret ini akan menjadi deret peningkatan, sedangkan jika rasio (r) negatif, deret ini akan menjadi deret penurunan.

5. Mempunyai rumus umum.
Deret geometri tak hingga memiliki rumus umum untuk menghitung suku-suku berdasarkan suku pertama (a1) dan rasio (r), yang dinyatakan sebagai an = a1 * r^(n-1), di mana n adalah indeks suku.

6. Contoh populer.
Contoh deret geometri tak hingga yang paling terkenal adalah deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 1/2, yang menghasilkan deret 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... yang konvergen ke 2.

Contoh soal deret geometri tak hingga.

foto: pexels.com

Contoh soal 1.

Hitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut: 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...

Pembahasan:

Deret ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) = 2 dan rasio (r) = 0,5 (karena setiap suku adalah setengah dari suku sebelumnya).

Bisa menggunakan rumus untuk jumlah tak hingga deret geometri:
S = a1 / (1 - r)

S = 2 / (1 - 0,5)
S = 2 / 0,5
S = 4

Jadi, jumlah tak hingga dari deret ini adalah 4.

Contoh soal 2.

Hitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut: 3 - 6 + 12 - 24 + ...

Pembahasan:

Deret ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) = 3 dan rasio (r) = -2 (karena setiap suku adalah dua kali lipat dari suku sebelumnya, tetapi dengan tanda negatif).

Kamu bisa menggunakan rumus untuk jumlah tak hingga deret geometri:
S = a1 / (1 - r)

S = 3 / (1 - (-2))
S = 3 / (1 + 2)
S = 3 / 3
S = 1

Jadi, jumlah tak hingga dari deret ini adalah 1.

Contoh soal 3.

Hitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut: 4 - 2 + 1 - 0,5 + ...

Pembahasan:

Deret ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) = 4 dan rasio (r) = -0,5 (karena setiap suku adalah setengah dari suku sebelumnya, tetapi dengan tanda negatif).

Kita bisa menggunakan rumus untuk jumlah tak hingga deret geometri:
S = a1 / (1 - r)

S = 4 / (1 - (-0,5))
S = 4 / (1 + 0,5)
S = 4 / 1,5
S = 8/3

Jadi, jumlah tak hingga dari deret ini adalah 8/3.

Contoh soal 4.

Hitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut: 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...

Deret ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) = 1/3 dan rasio (r) = 1/3 (karena setiap suku adalah sepertiga dari suku sebelumnya).

Rumus yang digunakan untuk menghitung deret geometri tak hingga yaitu:

S = a1 / (1 - r)

S = (1/3) / (1 - 1/3)
S = (1/3) / (2/3)
S = (1/3) * (3/2)
S = 1/2

Jadi, jumlah tak hingga dari deret ini adalah 1/2.

Contoh soal 5.

Hitung jumlah tak hingga dari deret geometri berikut: 5 + 10 + 20 + 40 + ...

Pembahasan:

Deret ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) = 5 dan rasio (r) = 2 (karena setiap suku adalah dua kali lipat dari suku sebelumnya).

Gunakanlah rumus untuk jumlah tak hingga deret geometri:
S = a1 / (1 - r)

S = 5 / (1 - 2)
S = 5 / (-1)

Perlu dicatat bahwa rasio (r) > 1, sehingga deret ini tidak memiliki jumlah tak hingga (divergen).

Jadi, deret ini tidak memiliki jumlah tak hingga.