Rumus determinan matriks, beserta pengertian, sifat contoh soal, dan cara pengerjaannya

Brilio.net - Istilah matriks pasti nggak asing lagi bagi kamu. Determinan matriks adalah salah satu konsep penting dalam aljabar linier dan geometri. Determinan matriks adalah sebuah nilai yang bisa dihitung dari elemen-elemen suatu matriks persegi, yaitu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Rumus determinan matriks berkaitan dengan transformasi linear, invers matriks, dan sistem persamaan linear. Dimana setiap determinan memiliki rumusannya masing-masing. Adapun penulisan determinan matriks biasanya ditulis dengan notasi |A| atau det(A).

Untuk mencari determinan matriks, ada beberapa metode yang bisa digunakan, tergantung pada ordo atau ukuran matriks. Ordo matriks adalah jumlah baris dan kolom yang dimiliki matriks. Misalnya, matriks berordo 2x2 adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Matriks berordo 3x3 adalah matriks yang memiliki tiga baris dan tiga kolom, dan seterusnya.

Nah supaya lebih memahami tentang rumus determinan matriks, berikut brilio.net membahas secara komprehensif tentang definisi, sifat, dan contoh soal determinan matriks. Dilansir dari berbagai sumber pada Rabu (8/11)

Apa itu determinan matriks?

Rumus determinan matriks
freepik.com

Determinan matriks adalah suatu nilai yang bisa dihitung dari elemen-elemen suatu matriks persegi (matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama) dan digunakan untuk mengukur sifat-sifat geometris, linear, dan transformasi yang terkait dengan matriks tersebut.

Determinan matriks sering digunakan dalam aljabar linear dan matematika untuk menentukan apakah matriks adalah matriks balik (invers), untuk menghitung volume dari transformasi linier, dan untuk memecahkan sistem persamaan linear.

Untuk matriks persegi n x n (dengan n adalah bilangan bulat positif), determinan matriks dinyatakan dengan simbol "det(A)" atau "||A||" dan dihitung dengan berbagai metode, seperti metode ekspansi kofaktor atau dengan menggunakan operasi baris elementer.

Nilai determinan matriks akan bergantung pada elemen-elemen dalam matriks dan memiliki beberapa sifat penting, antara lain:

1. Jika determinan matriks sama dengan nol (det(A) = 0), maka matriks tersebut tidak memiliki matriks balik (invers), dan sistem persamaan linear yang melibatkan matriks tersebut mungkin tidak memiliki solusi unik.

2. Jika determinan matriks tidak sama dengan nol (det(A) ≠ 0), maka matriks tersebut memiliki matriks balik (invers), dan sistem persamaan linear yang melibatkan matriks tersebut memiliki solusi unik.

3. Nilai absolut dari determinan matriks memberikan informasi tentang perubahan dalam volume yang disebabkan oleh transformasi linier yang matriks tersebut wakili.

4. Determinan matriks juga memiliki sifat aljabar yang berguna dalam perhitungan dan pembuktian berbagai teorema dalam aljabar linear dan matematika lebih lanjut.

 

Rumus determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Rumus determinan matriks merupakan rumus yang digunakan untuk menghitung nilai determinan suatu matriks bersegi. Biasanya determinan matriks persegi memiliki ordo atau jumlah kolom dan baris terdiri dari dua ordo, ordo tiga, dan lebih dari tiga orde. Sementara, nilai determinan matriks adalah bilangan real yang berkaitan dengan invers matriks maupun persamaan linear. Beriku metode untuk menghitung rumus determinan matriks berikut ini:

Untuk matriks berordo 2x2, rumus determinan matriks adalah:

|A| = ad - bc

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks A.

Contoh:

|A| = |2 3| |4 5|

|A| = (2)(5) - (3)(4) |A| = 10 - 12 |A| = -2

Untuk matriks berordo 3x3, rumus determinan matriks adalah:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

di mana a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah elemen-elemen matriks A.

Contoh:

|A| = |1 2 3| |4 5 6| |7 8 9|

|A| = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) - (3)(5)(7) - (1)(6)(8) - (2)(4)(9) |A| = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 |A| = 0

Untuk matriks berordo lebih dari 3x3, rumus determinan matriks bisa dicari dengan metode ekspansi kofaktor, yaitu dengan mengembangkan determinan matriks menjadi jumlah determinan-determinan matriks yang lebih kecil. Metode ini memerlukan penggunaan minor dan kofaktor, yaitu nilai-nilai yang didapat dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks.

|A| = a|6 7 8| |10 11 12| |14 15 16|

b|5 7 8| |9 11 12| |13 15 16|
c|5 6 8| |9 10 12| |13 14 16|
d|5 6 7| |9 10 11| |13 14 15|

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen baris atau kolom yang dipilih untuk mengembangkan determinan matriks, dan matriks-matriks di dalam tanda kurung adalah minor dari elemen-elemen tersebut. Kofaktor dari elemen-elemen tersebut adalah +1, -1, +1, dan -1 secara bergantian.

Sifat-sifat determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Sifat-sifat determinan matriks adalah beberapa aturan atau hukum yang berlaku untuk nilai determinan suatu matriks persegi. Determinan matriks berkaitan dengan transformasi linear, invers matriks, dan sistem persamaan linear. Determinan matriks biasanya ditulis dengan notasi |A| atau det(A), di mana A adalah nama matriks.

Berikut adalah beberapa sifat-sifat determinan matriks yang umum:

1. Jika matriks A dan B berordo sama, maka determinan hasil perkalian matriks A dan B sama dengan hasil perkalian determinan matriks A dan B. Dengan kata lain, |A.B| = |A|.|B|.

2. Jika matriks A dan B berordo sama, maka determinan hasil penjumlahan matriks A dan B tidak sama dengan hasil penjumlahan determinan matriks A dan B. Dengan kata lain, |A+B| ≠ |A|+|B|.

3. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil perpangkatan matriks A sama dengan hasil perpangkatan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^n| = |A|^n.

4. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil invers matriks A sama dengan kebalikan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^-1| = 1/|A|.

5. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil transpos matriks A sama dengan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^T| = |A|.

6. Jika matriks A berordo n x n, dan k adalah sebuah konstanta, maka determinan hasil perkalian skalar matriks A sama dengan hasil perkalian skalar determinan matriks A. Dengan kata lain, |k.A| = k^n.|A|.

7. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A memiliki elemen yang sama pada satu baris atau satu kolom, maka determinan matriks A sama dengan nol. Dengan kata lain, |A| = 0.

8. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka determinan matriks A sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks A. Dengan kata lain, |A| = a_11.a_22.a_33...a_nn.

9. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks diagonal, maka determinan matriks A sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks A. Dengan kata lain, |A| = a_11.a_22.a_33...a_nn.

10. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks identitas, maka determinan matriks A sama dengan satu. Dengan kata lain, |A| = 1.

 

Contoh soal rumus determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Berikut adalah lima contoh soal rumus determinan matriks dan jawabannya:

1. Cari determinan matriks berikut:

|A| = |1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|

Jawaban:

Determinan matriks A bisa dicari dengan metode Sarrus, yaitu dengan menambahkan dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, kemudian menghitung jumlah perkalian elemen-elemen diagonal utama dan diagonal samping, lalu mengurangi keduanya. Rumus determinan matriks ini adalah:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

di mana a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah elemen-elemen matriks A.

Maka,

|A| = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) - (3)(5)(7) - (1)(6)(8) - (2)(4)(9)
|A| = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72
|A| = 0

2. Cari determinan matriks berikut:

|B| = |2 3|
|4 5|

Jawaban:

Determinan matriks B bisa dicari dengan rumus determinan matriks ordo 2x2, yaitu:

|B| = ad - bc

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks B.

Maka,

|B| = (2)(5) - (3)(4)
|B| = 10 - 12
|B| = -2

3. Cari determinan matriks berikut:

|C| = |1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 3|

Jawaban:

Determinan matriks C bisa dicari dengan sifat determinan matriks diagonal, yaitu determinan matriks diagonal sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|C| = a_11.a_22.a_33...a_nn

di mana a_11, a_22, a_33, ..., a_nn adalah elemen-elemen diagonal utama matriks C.

Maka,

|C| = (1)(2)(3)
|C| = 6

4. Cari determinan matriks berikut:

|D| = |1 2 3 4|
|0 5 6 7|
|0 0 8 9|
|0 0 0 10|

Jawaban:

Determinan matriks D bisa dicari dengan sifat determinan matriks segitiga atas, yaitu determinan matriks segitiga atas sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|D| = a_11.a_22.a_33...a_nn

di mana a_11, a_22, a_33, ..., a_nn adalah elemen-elemen diagonal utama matriks D.

Maka,

|D| = (1)(5)(8)(10)
|D| = 400

5. Cari determinan matriks berikut:

|E| = |1 2 3 4|
|5 6 7 8|
|9 10 11 12|
|13 14 15 16|

Jawaban:

Determinan matriks E bisa dicari dengan metode ekspansi kofaktor, yaitu dengan mengembangkan determinan matriks menjadi jumlah determinan-determinan matriks yang lebih kecil. Metode ini memerlukan penggunaan minor dan kofaktor, yaitu nilai-nilai yang didapat dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|E| = a|6 7 8|
|10 11 12|
|14 15 16|

- b|5 7 8|
|9 11 12|
|13 15 16|

+ c|5 6 8|
|9 10 12|
|13 14 16|

- d|5 6 7|
|9 10 11|
|13 14 15|

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen baris atau kolom yang dipilih untuk mengembangkan determinan matriks, dan matriks-matriks di dalam tanda kurung adalah minor dari elemen-elemen tersebut. Kofaktor dari elemen-elemen tersebut adalah +1, -1, +1, dan -1 secara bergantian.

Maka,

|E| = 1|6 7 8|
|10 11 12|
|14 15 16|

- 2|5 7 8|
|9 11 12|
|13 15 16|

+ 3|5 6 8|
|9 10 12|
|13 14 16|

- 4|5 6 7|
|9 10 11|
|13 14 15|

Selanjutnya, kita bisa mencari determinan-determinan matriks yang lebih kecil dengan rumus determinan matriks ordo 3x3, dan menjumlahkannya. Hasilnya adalah:

|E| = 1(6(11)(16) + 7(12)(14) + 8(10)(15) - 8(11)(14) - 6(12)(15) - 7(10)(16))
- 2(5(11)(16) + 7(12)(13) + 8(9)(15) - 8(11)(13) - 5(12)(15) - 7(9)(16))
+ 3(5(10)(16) + 6(12)(13) + 8(9)(14) - 8(10)(13) - 5(12)(14) - 6(9)(16))
- 4(5(10)(11) + 6(11)(13) + 7(9)(14) - 7(10)(13) - 5(11)(14) - 6(9)(11))

|E| = 1(1056 + 1176 + 1200 - 1232 - 1080 - 1120)
- 2(880 + 1092 + 1080 - 1144 - 900 - 1008)
+ 3(800 + 936 + 1008 - 1040 - 840 - 864)
- 4(550 + 858 + 882 - 910 - 770 - 594)

|E| = 1(0) - 2(0) + 3(0) - 4(0)
|E| = 0