Rumus determinan matriks, beserta pengertian, sifat contoh soal, dan cara pengerjaannya

Contoh soal rumus determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Berikut adalah lima contoh soal rumus determinan matriks dan jawabannya:

1. Cari determinan matriks berikut:

|A| = |1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|

Jawaban:

Determinan matriks A bisa dicari dengan metode Sarrus, yaitu dengan menambahkan dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, kemudian menghitung jumlah perkalian elemen-elemen diagonal utama dan diagonal samping, lalu mengurangi keduanya. Rumus determinan matriks ini adalah:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

di mana a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah elemen-elemen matriks A.

Maka,

|A| = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) - (3)(5)(7) - (1)(6)(8) - (2)(4)(9)
|A| = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72
|A| = 0

2. Cari determinan matriks berikut:

|B| = |2 3|
|4 5|

Jawaban:

Determinan matriks B bisa dicari dengan rumus determinan matriks ordo 2x2, yaitu:

|B| = ad - bc

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks B.

Maka,

|B| = (2)(5) - (3)(4)
|B| = 10 - 12
|B| = -2

3. Cari determinan matriks berikut:

|C| = |1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 3|

Jawaban:

Determinan matriks C bisa dicari dengan sifat determinan matriks diagonal, yaitu determinan matriks diagonal sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|C| = a_11.a_22.a_33...a_nn

di mana a_11, a_22, a_33, ..., a_nn adalah elemen-elemen diagonal utama matriks C.

Maka,

|C| = (1)(2)(3)
|C| = 6

4. Cari determinan matriks berikut:

|D| = |1 2 3 4|
|0 5 6 7|
|0 0 8 9|
|0 0 0 10|

Jawaban:

Determinan matriks D bisa dicari dengan sifat determinan matriks segitiga atas, yaitu determinan matriks segitiga atas sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|D| = a_11.a_22.a_33...a_nn

di mana a_11, a_22, a_33, ..., a_nn adalah elemen-elemen diagonal utama matriks D.

Maka,

|D| = (1)(5)(8)(10)
|D| = 400

5. Cari determinan matriks berikut:

|E| = |1 2 3 4|
|5 6 7 8|
|9 10 11 12|
|13 14 15 16|

Jawaban:

Determinan matriks E bisa dicari dengan metode ekspansi kofaktor, yaitu dengan mengembangkan determinan matriks menjadi jumlah determinan-determinan matriks yang lebih kecil. Metode ini memerlukan penggunaan minor dan kofaktor, yaitu nilai-nilai yang didapat dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks. Rumus determinan matriks ini adalah:

|E| = a|6 7 8|
|10 11 12|
|14 15 16|

- b|5 7 8|
|9 11 12|
|13 15 16|

+ c|5 6 8|
|9 10 12|
|13 14 16|

- d|5 6 7|
|9 10 11|
|13 14 15|

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen baris atau kolom yang dipilih untuk mengembangkan determinan matriks, dan matriks-matriks di dalam tanda kurung adalah minor dari elemen-elemen tersebut. Kofaktor dari elemen-elemen tersebut adalah +1, -1, +1, dan -1 secara bergantian.

Maka,

|E| = 1|6 7 8|
|10 11 12|
|14 15 16|

- 2|5 7 8|
|9 11 12|
|13 15 16|

+ 3|5 6 8|
|9 10 12|
|13 14 16|

- 4|5 6 7|
|9 10 11|
|13 14 15|

Selanjutnya, kita bisa mencari determinan-determinan matriks yang lebih kecil dengan rumus determinan matriks ordo 3x3, dan menjumlahkannya. Hasilnya adalah:

|E| = 1(6(11)(16) + 7(12)(14) + 8(10)(15) - 8(11)(14) - 6(12)(15) - 7(10)(16))
- 2(5(11)(16) + 7(12)(13) + 8(9)(15) - 8(11)(13) - 5(12)(15) - 7(9)(16))
+ 3(5(10)(16) + 6(12)(13) + 8(9)(14) - 8(10)(13) - 5(12)(14) - 6(9)(16))
- 4(5(10)(11) + 6(11)(13) + 7(9)(14) - 7(10)(13) - 5(11)(14) - 6(9)(11))

|E| = 1(1056 + 1176 + 1200 - 1232 - 1080 - 1120)
- 2(880 + 1092 + 1080 - 1144 - 900 - 1008)
+ 3(800 + 936 + 1008 - 1040 - 840 - 864)
- 4(550 + 858 + 882 - 910 - 770 - 594)

|E| = 1(0) - 2(0) + 3(0) - 4(0)
|E| = 0