Rumus determinan matriks, beserta pengertian, sifat contoh soal, dan cara pengerjaannya

Rumus determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Rumus determinan matriks merupakan rumus yang digunakan untuk menghitung nilai determinan suatu matriks bersegi. Biasanya determinan matriks persegi memiliki ordo atau jumlah kolom dan baris terdiri dari dua ordo, ordo tiga, dan lebih dari tiga orde. Sementara, nilai determinan matriks adalah bilangan real yang berkaitan dengan invers matriks maupun persamaan linear. Beriku metode untuk menghitung rumus determinan matriks berikut ini:

Untuk matriks berordo 2x2, rumus determinan matriks adalah:

|A| = ad - bc

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks A.

Contoh:

|A| = |2 3| |4 5|

|A| = (2)(5) - (3)(4) |A| = 10 - 12 |A| = -2

Untuk matriks berordo 3x3, rumus determinan matriks adalah:

|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

di mana a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah elemen-elemen matriks A.

Contoh:

|A| = |1 2 3| |4 5 6| |7 8 9|

|A| = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) - (3)(5)(7) - (1)(6)(8) - (2)(4)(9) |A| = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 |A| = 0

Untuk matriks berordo lebih dari 3x3, rumus determinan matriks bisa dicari dengan metode ekspansi kofaktor, yaitu dengan mengembangkan determinan matriks menjadi jumlah determinan-determinan matriks yang lebih kecil. Metode ini memerlukan penggunaan minor dan kofaktor, yaitu nilai-nilai yang didapat dengan menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks.

|A| = a|6 7 8| |10 11 12| |14 15 16|

b|5 7 8| |9 11 12| |13 15 16|
c|5 6 8| |9 10 12| |13 14 16|
d|5 6 7| |9 10 11| |13 14 15|

di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen baris atau kolom yang dipilih untuk mengembangkan determinan matriks, dan matriks-matriks di dalam tanda kurung adalah minor dari elemen-elemen tersebut. Kofaktor dari elemen-elemen tersebut adalah +1, -1, +1, dan -1 secara bergantian.

Sifat-sifat determinan matriks.

Rumus determinan matriks
freepik.com

Sifat-sifat determinan matriks adalah beberapa aturan atau hukum yang berlaku untuk nilai determinan suatu matriks persegi. Determinan matriks berkaitan dengan transformasi linear, invers matriks, dan sistem persamaan linear. Determinan matriks biasanya ditulis dengan notasi |A| atau det(A), di mana A adalah nama matriks.

Berikut adalah beberapa sifat-sifat determinan matriks yang umum:

1. Jika matriks A dan B berordo sama, maka determinan hasil perkalian matriks A dan B sama dengan hasil perkalian determinan matriks A dan B. Dengan kata lain, |A.B| = |A|.|B|.

2. Jika matriks A dan B berordo sama, maka determinan hasil penjumlahan matriks A dan B tidak sama dengan hasil penjumlahan determinan matriks A dan B. Dengan kata lain, |A+B| ≠ |A|+|B|.

3. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil perpangkatan matriks A sama dengan hasil perpangkatan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^n| = |A|^n.

4. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil invers matriks A sama dengan kebalikan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^-1| = 1/|A|.

5. Jika matriks A berordo n x n, maka determinan hasil transpos matriks A sama dengan determinan matriks A. Dengan kata lain, |A^T| = |A|.

6. Jika matriks A berordo n x n, dan k adalah sebuah konstanta, maka determinan hasil perkalian skalar matriks A sama dengan hasil perkalian skalar determinan matriks A. Dengan kata lain, |k.A| = k^n.|A|.

7. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A memiliki elemen yang sama pada satu baris atau satu kolom, maka determinan matriks A sama dengan nol. Dengan kata lain, |A| = 0.

8. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka determinan matriks A sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks A. Dengan kata lain, |A| = a_11.a_22.a_33...a_nn.

9. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks diagonal, maka determinan matriks A sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama matriks A. Dengan kata lain, |A| = a_11.a_22.a_33...a_nn.

10. Jika matriks A berordo n x n, dan matriks A merupakan matriks identitas, maka determinan matriks A sama dengan satu. Dengan kata lain, |A| = 1.