Brilio.net - Sejak Sekolah Menengah Pertama (SMP) kamu pasti sudah diperkenalkan dengan materi matematika trigonometri. Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga. Trigonometri memiliki banyak aplikasi dalam bidang-bidang seperti astronomi, fisika, navigasi, arsitektur, seni, dan lain-lain.

Salah satu konsep penting dalam trigonometri yang menarik dipelajari adalah rumus identitas trigonometri, yaitu persamaan yang menyatakan kesamaan antara fungsi trigonometri yang berbeda. Identitas trigonometri dapat digunakan untuk menyederhanakan atau mengubah ekspresi yang memuat fungsi trigonometri menjadi bentuk lain yang lebih mudah dihitung atau dianalisis.

Nah, pada artikel ini brilio.net akan membahas beberapa jenis identitas trigonometri, rumus-rumusnya, dan contoh soalnya. Berikut ulasannya, seperti dilansir brilio.net dari berbagai sumber pada Sabtu (14/10).

Pengertian identitas trigonometri.

Rumus identitas trigonometri © 2023 brilio.net

foto: freepik.com

Identitas trigonometri adalah suatu identitas yang berisi kesamaan fungsi trigonometri di ruas kiri dan ruas kanan. Kesamaan itu diperoleh dengan cara menjabarkan salah satu fungsi, bisa di ruas kiri atau ruas kanan hingga diperoleh bentuk akhir yang sama.

Identitas trigonometri dapat digunakan untuk menyederhanakan atau mengubah ekspresi yang memuat fungsi trigonometri menjadi bentuk lain yang lebih mudah dihitung atau dianalisis. Ada beberapa jenis identitas trigonometri, antara lain:

- Identitas trigonometri ganjil genap, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari sudut negatif.

- Identitas trigonometri kofungsi, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari sudut komplementer (sudut yang jumlahnya 90 derajat).

- Identitas trigonometri Pythagoras, yaitu identitas yang berhubungan dengan hubungan antara sinus, kosinus, dan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku.

- Identitas trigonometri sudut ganda, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari sudut yang dua kali lipat dari sudut lain.

- Identitas trigonometri sudut rangkap, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari sudut yang merupakan kelipatan dari sudut lain.

- Identitas trigonometri sudut tambah kurang, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari penjumlahan atau pengurangan dua sudut.

- Identitas trigonometri sudut setengah, yaitu identitas yang berhubungan dengan nilai fungsi trigonometri dari setengah dari suatu sudut.

 

 

Rumus identitas trigonometri.

Rumus identitas trigonometri © 2023 brilio.net

foto: freepik.com

Rumus identitas trigonometri adalah rumus yang menunjukkan kesamaan antara fungsi trigonometri yang berbeda. Rumus identitas trigonometri dapat digunakan untuk menyederhanakan atau mengubah ekspresi yang memuat fungsi trigonometri menjadi bentuk lain yang lebih mudah dihitung atau dianalisis.

Berikut adalah beberapa rumus identitas trigonometri yang umum digunakan:

1. Identitas trigonometri ganjil genap:

sin(−x)= −sin(x)

cos(−x)= cos(x)

tan(−x)= −tan(x)

2. Identitas trigonometri kofungsi:

sin(π/2 − x)= cos(x)

cos(π/2 − x)= sin(x)

tan(π/2 − x)= cot(x)

3. Identitas trigonometri Pythagoras:

sin²(x) + cos² (x) = 1

1 + tan² (x) = sec²(x)

1 + cot² (x) = csc²(x)

4. Identitas trigonometri sudut ganda:

sin(2x) = 2sin(x) cos(x)

cos(2x)= cos²(x)−sin²(x) = 1 − 2sin²(x) = 2cos²(x) − 1

tan(2x)= 2tan(x)/ 1 − tan²(x)

5. Identitas trigonometri sudut tambah kurang:

sin(A + B) = sin(A) cos(B) + cos(A) sin(B)

sin(A − B) = sin(A) cos(B)− cos(A) sin(B)

cos(A + B) = cos(A) cos(B) − sin(A)s in(B)

cos(A − B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B)

tan(A + B) = 1 − tan(A) tan(B) tan(A) + tan(B)

tan(A −B) = 1 + tan(A) tan(B) tan(A) − tan(B)

6. Identitas trigonometri sudut setengah:

foto: Istimewa

Contoh soal dan cara pengerjaan rumus identitas trigonometri.

Rumus identitas trigonometri © 2023 brilio.net

foto: freepik.com

1. Buktikan bahwa sin(π/4 + x) = √2/2(sinx + cosx).

Jawaban:

Dari identitas sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB, kamu bisa dapatkan:

Sin(π/4 + x) = sin (π/4)cos(x) + cos (π/4)sin(x)

Karena sin (π/4) = cos (π/4) = √2/2, maka:

sin (π/4 + x) = √2/2 cos(x) + √2/2 sin(x)

sin (π/4 + x) = √2/2 (sinx + cosx)

Jadi, sin(π/4 + x) = √2/2 (sinx + cosx) terbukti.

2. Sederhanakan ekspresi tan2(x)−1.

Jawaban:

Dari identitas 1 + tan²(x) = sec²(x), kita dapatkan:

tan² (x) - 1 = ( 1 + tan² (x)) - 2

tan² (x) - 1 = sec²(x) - 2

Jadi, ekspresi tan²(x) - 1 dapat disederhanakan menjadi sec²(x) - 2

3. Tentukan nilai dari cos(3x) jika diketahui bahwa cos(6x) = −1/4.

Jawaban:

Dari identitas cos(3x) = 4cos³(x) − 3cos(x), kita dapatkan:

cos(6x) = 4cos³(2x) - 3cos(2x)

Substitusikan cos(6x) = −1/4 = 1/2, maka:

−1/4 = 4cos³(2x) - 3cos(2x)

-1 = 16cos³(2x) - 12cos(2x)

Faktorkan persamaan di atas, maka:

-1 = (4cos(2x) - 3)(4cos²(2x) + 3cos(2x) + 1)

Untuk mendapatkan akar-akar real, kita harus memilih faktor yang bernilai nol, yaitu:

4cos(2x) - 3 = 0
cos(2x) = 3/4

Karena 0<6x<360, maka 0<2x<120. Dengan menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, kita dapat menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas, yaitu:

x = 1/6 arccos(3/4) = 20,9°

atau

x = 1/6(360° - arccos(3/4) = 79,0°

Dengan demikian, nilai cos(3x) adalah:

cos(3x) = cos(3 x 20,9°) = -0,5

Jadi, nilai cos(3x) adalah -0,5.

4. Nyatakan ekspresi sin(x)cot(x) ke dalam bentuk yang lebih sederhana.

Jawaban:

Dari definisi cot(x) = cos(x)/sin(x), dapat dijabarkan:

sin(x)cot(x) = sin(x).cos(x)/sin(x)

Sederhanakan pecahan diatas, maka:

sin(x)cot(x) = cos(x)