Rumus integral parsial, beserta pengertian, fungsi, dan cara pengerjaannya

Brilio.net - Integral adalah salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Integral digunakan untuk mengukur luas daerah di bawah kurva fungsi matematika, serta menghitung jumlah akumulasi dari sejumlah nilai dalam suatu interval tertentu.

Materi integral dalam matematika dibagi menjadi dua, yaitu integral substitusi dan integral parsial. Integral parsial adalah teknik penyelesaian persamaan integral dengan pemisalan. Biasanya rumus integral parsial digunakan untuk menyelesaikan persamaan kompleks.

Untuk mengetahui tentang cara menghitung rumus integral parsial, berikut brilio.net rangkum rumus integral parsial lengkap dengan pengertian, fungsi, dan cara pengerjaannya dari berbagai sumber pada Rabu (11/10).

Pengertian dan rumus integral parsial.

foto: Unsplash/Jeswin Thomas

Integral parsial adalah teknik yang digunakan dalam kalkulus untuk menghitung integral dari produk dua fungsi. Teknik ini sering digunakan ketika integral yang harus dihitung sulit atau rumit, terutama ketika satu fungsi dapat diintegralkan dengan mudah sementara yang lainnya tidak.

Integral parsial bergantung pada aturan perkalian dan aturan integrasi yang memungkinkan kita untuk memecah integral dari produk dua fungsi menjadi dua integral yang lebih sederhana. Rumus integral parsial dapat dinyatakan sebagai berikut:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Dalam rumus ini, u dan v adalah dua fungsi yang berbeda, dan du serta dv adalah turunan dari u dan v masing-masing. Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat memecah integral dari produk dua fungsi menjadi dua bagian yang lebih mudah diintegrasikan.

Fungsi integral parsial.

foto: Unsplash/Dan Cristian Pdure

Fungsi utama integral parsial adalah untuk memecah integral produk dua fungsi menjadi dua bagian yang lebih mudah diintegrasikan. Hal ini membantu dalam menyelesaikan integral yang sulit atau kompleks dengan mengurangi integral tersebut menjadi integral yang lebih sederhana. Berikut beberapa fungsi integral parsial:

1. Memecah Integral Sulit.
Integral parsial memungkinkan Anda untuk mengintegrasikan produk dari dua fungsi yang sulit atau kompleks dengan membaginya menjadi dua integral yang lebih sederhana.

2. Mengatasi Produk Fungsi.
Integral produk dua fungsi sering muncul dalam berbagai konteks matematika, fisika, dan rekayasa. Integral parsial membantu dalam menyelesaikan integral ini dengan lebih efisien.

3. Reduksi Integral.
Dengan memilih "u" dan "dv" yang sesuai, integral parsial mengubah integral menjadi bentuk yang lebih dapat diintegrasikan. Ini sering menghasilkan integral yang lebih sederhana atau yang dapat diselesaikan langsung.

Contoh soal dan cara pengerjaan integral parsial.

foto: Unsplash/Roman Mager

Langkah-langkah dalam menggunakan fungsi integral parsial adalah sebagai berikut:

Pilih u: Pilih salah satu fungsi sebagai u dan yang lainnya sebagai dv. Pilihan ini didasarkan pada aturan "LIATE" (Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential). Jika memilih fungsi u, maka turunannya (du) menjadi lebih sederhana atau lebih mudah diintegrasikan.

Hitung du dan dv: Hitung turunan dari u (du) dan integral dari dv (v).

Terapkan rumus integral parsial: Gunakan rumus integral parsial ∫ u dv = uv - ∫ v du untuk menghitung integral ∫ u dv.

Hitung hasil akhir: Gabungkan hasil dari rumus integral parsial dengan integral ∫ v du yang mungkin masih perlu dihitung.

 

 

 

Contoh soal integral parsial.

Soal 1:

Hitung integral dari ∫ x * ln(x) dx.

Jawaban 1:

Pilihan:
u = ln(x), dv = x dx

Turunan:
du = (1/x) dx, v = (1/2) x^2

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * ln(x) dx = (1/2) x^2 * ln(x) - ∫ (1/2) x^2 * (1/x) dx
= (1/2) x^2 * ln(x) - (1/2) ∫ x dx
= (1/2) x^2 * ln(x) - (1/4) x^2 + C

Soal 2:

Hitung integral dari ∫ x^2 * sin(x) dx.

Jawaban 2:

Pilihan:
u = x^2, dv = sin(x) dx

Turunan:
du = 2x dx, v = -cos(x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x^2 * sin(x) dx = -x^2 * cos(x) - ∫ (-2x * cos(x)) dx
= -x^2 * cos(x) + 2 ∫ x * cos(x) dx

Soal 3:

Hitung integral dari ∫ x * cos(2x) dx.

Jawaban 3:

Pilihan:
u = x, dv = cos(2x) dx

Turunan:
du = dx, v = (1/2) sin(2x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * cos(2x) dx = (1/2) x * sin(2x) - ∫ (1/2) sin(2x) dx
= (1/2) x * sin(2x) + (1/4) cos(2x) + C

Soal 4:

Hitung integral dari ∫ x * e^(-x) dx.

Jawaban 4:

Pilihan:
u = x, dv = e^(-x) dx

Turunan:
du = dx, v = -e^(-x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * e^(-x) dx = -x * e^(-x) - ∫ (-e^(-x)) dx
= -x * e^(-x) + e^(-x) + C

Soal 5:

Hitung integral dari ∫ x^2 * e^(3x) dx.

Jawaban 5:

Pilihan:
u = x^2, dv = e^(3x) dx

Turunan:
du = 2x dx, v = (1/3) e^(3x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x^2 * e^(3x) dx = (1/3) x^2 * e^(3x) - (2/3) ∫ x * e^(3x) dx

Soal 6:

Hitung integral dari ∫ x * arctan(x) dx.

Jawaban 6:

Pilihan:
u = arctan(x), dv = x dx

Turunan:
du = (1/(1+x^2)) dx, v = (1/2) x^2

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * arctan(x) dx = (1/2) x^2 * arctan(x) - (1/2) ∫ (1/(1+x^2)) x^2 dx

Soal 7:

Hitung integral dari ∫ x * sin(x) dx.

Jawaban 7:

Pilihan:
u = x, dv = sin(x) dx

Turunan:
du = dx, v = cos(x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * sin(x) dx = x * cos(x) - ∫ cos(x) dx

Soal 8:

Hitung integral dari ∫ x * cos(x) dx.

Jawaban 8:

Pilihan:
u = x, dv = cos(x) dx

Turunan:
du = dx, v = sin(x)

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * cos(x) dx = x * sin(x) - ∫ sin(x) dx

Soal 9:

Hitung integral dari ∫ x^2 * tan(x) dx.

Jawaban 9:

Pilihan:
u = x^2, dv = tan(x) dx

Turunan:
du = 2x dx, v = -ln|cos(x)|

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x^2 * tan(x) dx = -x^2 * ln|cos(x)| - ∫ (-2x * ln|cos(x)|) dx

Soal 10:

Hitung integral dari ∫ x * log(x) dx.

Jawaban 10:

Pilihan:
u = log(x), dv = x dx

Turunan:
du = (1/x) dx, v = (1/2) x^2

Menggunakan rumus integral parsial, kita memiliki:
∫ x * log(x) dx = (1/2) x^2 * log(x) - (1/2) ∫ (1/x) x^2 dx
= (1/2) x^2 * log(x) - (1/2) ∫ x dx
= (1/2) x^2 * log(x) - (1/4) x^2 + C