Rumus kuartil data tunggal dan berkelompok, lengkap dengan pengertian, contoh soal dan cara pengerjaan

Brilio.net - Statistika merupakan keilmuan yang penting untuk dipelajari. Pasalnya, ilmu ini membantu kamu mengumpulkan, menganalisis, mempresentasikan, hingga memprediksi satu data. Salah satu materi yang penting dikuasai oleh mahasiswa atau ahli statistik adalah kuartil.

Kuartil adalah salah satu ukuran letak data yang sering digunakan dalam statistika. Kuartil dapat digunakan untuk mengetahui sebaran data, mengukur keragaman data, dan mengidentifikasi data ekstrem. Namun, tahukah kamu bahwa ada dua jenis kuartil, yaitu kuartil data tunggal dan kuartil data berkelompok? Apa perbedaan dan bagaimana cara menghitungnya?

Yuk simak penjelasan rumus kuartil data tunggal dan berkelompok, lengkap dengan pengertian, contoh soal dan cara pengerjaannya dalam artikel ini, seperti dirangkum brilio.net dari berbagai sumber pada Selasa (17/10).

Definisi kuartil data tunggal

foto: freepik.com

Kuartil data tunggal adalah suatu nilai yang membagi data yang disusun secara tunggal, tidak dalam bentuk interval, menjadi empat bagian yang sama besar. Data tunggal adalah data yang terdiri dari nilai-nilai tunggal, seperti 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Kuartil data tunggal digunakan untuk mengukur sebaran atau variasi data, serta untuk menentukan nilai-nilai ekstrim atau pencilan.

Ada tiga kuartil data tunggal yang biasanya dicari, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil kedua juga disebut sebagai median, yaitu nilai tengah dari data. Untuk menentukan kuartil data tunggal, kita harus mengurutkan data terlebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar. Kemudian, kita harus mencari letak kuartil dengan rumus berikut:

Qi = i(n + 10)/4

Keterangan:

- Qi adalah kuartil ke-i, dengan i=1,2,3.

- n adalah jumlah seluruh data.

Setelah mengetahui letak kuartil, kita bisa mencari nilai kuartil dengan cara berikut:

- Jika letak kuartil adalah bilangan bulat, maka nilai kuartil adalah data pada posisi tersebut.

- Jika letak kuartil adalah bilangan pecahan, maka nilai kuartil adalah rata-rata dari dua data terdekat pada posisi tersebut.

 

 

Definisi kuartil data berkelompok

foto: freepik.com

Kuartil data berkelompok adalah nilai yang membagi data yang sudah dikelompokkan dalam kelas interval menjadi empat bagian yang sama besar. Ada tiga kuartil data berkelompok yang biasanya dicari, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

Kuartil kedua juga disebut sebagai median, yaitu nilai tengah dari data. Kuartil data berkelompok digunakan untuk mengukur sebaran atau variasi data, serta untuk menentukan nilai-nilai ekstrim atau pencilan. Berikut adalah beberapa pengertian kuartil data berkelompok menurut para ahli:

- Menurut Collins Dictionary, pengertian kuartil data berkelompok adalah salah satu dari tiga nilai aktual atau nosional suatu variabel yang membagi distribusinya menjadi empat kelompok dengan frekuensi yang sama.

- Menurut Suliyanto (2002), pengertian kuartil data berkelompok adalah nilai-nilai yang membagi suatu distribusi frekuensi menjadi empat bagian yang sama besar.

- Menurut Merriam-Webster, pengertian kuartil data berkelompok adalah salah satu dari tiga titik yang membagi distribusi frekuensi menjadi empat bagian masing-masing berisi seperempat populasi.

Rumus kuartil data berkelompok:

Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian sama besar, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2 atau median), dan kuartil atas (Q3). Rumus kuartil data berkelompok berbeda dengan rumus kuartil data tunggal, yang hanya menggunakan urutan dan jumlah data. Rumus kuartil data berkelompok memerlukan informasi tambahan seperti batas bawah kelas, frekuensi kumulatif, dan panjang kelas.

Rumus kuartil data berkelompok adalah sebagai berikut:

Qk = b + p(kN - F)/f

Keterangan:

- Qk adalah kuartil ke-k, dengan k=1,2,3.

- b adalah batas bawah kelas yang mengandung kuartil.

- p adalah panjang kelas atau interval kelas.

- N adalah jumlah seluruh data atau frekuensi.

- F adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung kuartil.

- f adalah frekuensi kelas yang mengandung kuartil.

Perbedaan kuartil data tunggal dan berkelompok

foto: freepik.com

Perbedaan dan persamaan kuartil data tunggal dan berkelompok adalah sebagai berikut:

- Perbedaan:

1. Data tunggal adalah data yang disusun secara tunggal, tidak dalam bentuk interval. Data berkelompok adalah data yang disusun dalam kelas interval tertentu.

2. Untuk menentukan letak kuartil data tunggal, kita menggunakan rumus Lk = (n+1)k/4, dimana n adalah banyaknya data dan k adalah nomor kuartil (1, 2, atau 3). Untuk menentukan letak kuartil data berkelompok, kita menggunakan rumus Lk = b + p(kF - Fb)/f, dimana b adalah batas bawah kelas kuartil, p adalah panjang kelas, k adalah nomor kuartil (1, 2, atau 3), F adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, Fb adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas batas bawah, dan f adalah frekuensi kelas kuartil.

3. Untuk menentukan nilai kuartil data tunggal, kita melihat data yang berada pada letak kuartil. Jika letak kuartil berupa bilangan bulat, maka nilai kuartilnya adalah data ke-Lk. Jika letak kuartil berupa bilangan pecahan, maka nilai kuartilnya adalah rata-rata dari data ke-Lk dan data ke-Lk+1. Untuk menentukan nilai kuartil data berkelompok, kita menggunakan rumus yang sama dengan letak kuartil.

- Persamaan:

1. Kedua jenis data memiliki tiga nilai kuartil yaitu Q1 (kuartil bawah), Q2 (kuartil tengah atau median), dan Q3 (kuartil atas).

2. Kedua jenis data dapat digunakan untuk menghitung jangkauan antar-kuartil (IQR) dengan rumus IQR = Q3 - Q1. IQR merupakan ukuran penyebaran data yang menggambarkan rentang nilai antara 25% data terkecil dan 25% data terbesar.

3. Kedua jenis data dapat digunakan untuk membuat diagram kotak (box plot) yang menunjukkan lima ukuran letak data yaitu nilai minimum, Q1, Q2, Q3, dan nilai maksimum.

 

Contoh soal data tunggal dan berkelompok

foto: freepik.com

1. Contoh Soal 1 (Data Tunggal)

Diberikan data tunggal berikut ini:

7, 3, 2, 10, 6, 8, 5, 4, 1, 9

Hitunglah kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3).

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah mengurutkan data secara berurutan:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung kuartil:

Q1 = L + [(N/4 - Fk25%) / f

Q3 = L + [(3N/4 - Fk75%) / f

- L adalah batas bawah kelas yang berisi kuartil.

- N adalah jumlah total data.

- Fk25% adalah frekuensi kumulatif sebelum Q1.

- Fk75% adalah frekuensi kumulatif sebelum Q3.

- f adalah frekuensi kelas yang berisi Q1 atau Q3.

- w adalah lebar kelas.

Dalam hal ini, tidak ada kelompok data atau lebar kelas karena ini adalah data tunggal, sehingga w = 1.

N = 10 (jumlah data)

Fk25% = 2 (karena 25% 10 = 2.5, maka kita ambil 2)

Fk75% = 8(karena 75% 10 = 7.5, maka kita ambil 8)

f = 1 (frekuensi kelas)

Kemudian hitung Q1 dan Q3:

Q1 = 2 + (10/4 - 2) / 1 x 1 = 2 + (2.5 - 2) / 1 = 2 + 0.5 / 1 = 2 + 0.5 = 2.5

Q3 = 2 + (3 x 10/4 - 8) / 1 x 1 = 2 + (30/4 - 8) / 1 = 2 + (7.5 - 8) = 2 - 0.5 = 1.5

Jadi, kuartil pertama (Q1) adalah 2.5, dan kuartil ketiga (Q3) adalah 1.5.

2. Contoh Soal 2 (Data Tunggal)

Diberikan data tunggal berikut ini:

12, 15, 19, 24, 28, 32, 35, 39

Hitunglah kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3).

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah mengurutkan data secara berurutan:

12, 15, 19, 24, 28, 32, 35, 39

Kemudian, dapat menggunakan rumus yang sama seperti di Contoh Soal 1 untuk menghitung Q1 dan Q3:

Q1 = 15

Q3 = 32

Jadi, kuartil pertama (Q1) adalah 15, dan kuartil ketiga (Q3) adalah 32.

3. Contoh Soal 3 (Data Berkelompok)

Diberikan data berkelompok berikut ini:

| Kelas | Frekuensi |
|-------|-----------|
| 10-19 | 4 |
| 20-29 | 8 |
| 30-39 | 10 |
| 40-49 | 6 |
| 50-59 | 2 |

Hitunglah kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3) dari data berkelompok ini.

Penyelesaian:

Dalam data berkelompok, kita perlu menggunakan rumus yang melibatkan interpolasi untuk menghitung kuartil. Rumusnya adalah:

Q1 = L + [(N/4 - Fk25%) / f] x w

Q3 = L + [(3N/4 - Fk75%) / f] x w

Di sini, kita harus menemukan letak frekuensi kumulatif ke-25% dan ke-75% (Fk25% dan Fk75%).

- L adalah batas bawah kelas yang berisi Q1 atau Q3.
- N adalah jumlah total data.
- Fk25% adalah frekuensi kumulatif sebelum Q1 atau Q3.
- Fk75% adalah frekuensi kumulatif sebelum Q1 atau Q3.
- f adalah frekuensi kelas yang berisi Q1 atau Q3.
- w adalah lebar kelas.

Dalam hal ini, kita memiliki kelas dengan batas bawah dan batas atas, dan lebar kelas adalah 10.

N = 30 (jumlah total data)

Fk25% = 4 (karena 25% x 30 = 7.5), maka kita ambil 4)

Fk75% = 22 (karena 75% x 30 = 22.5), maka kita ambil 22)

f = 8 (frekuensi kelas yang berisi Q1 atau Q3)

w = 10 (lebar kelas)

Sekarang, kita dapat menghitung Q1 dan Q3:

Q1 = 20 + (30/4 - 4) / 8 x 10 = 20 + (7.5 - 4) / 8 x 10 = 20 + (3.5 / 8) x 10 = 20 + 4.375 = 24.375\

Q3 = 20 + (3 x 30/4 - 22) / 8 x 10 = 20 + (22.5 - 22) / 8 x 10 = 20 + (0.5 / 8) x 10 = 20 + 0.625 = 20.625

Jadi, kuartil pertama (Q1) adalah 24.375, dan kuartil ketiga (Q3) adalah 20.625.

4. Contoh Soal 4 (Data Berkelompok)

Diberikan data berkelompok berikut ini:

| Kelas | Frekuensi |
|-------|-----------|
| 1-10 | 5 |
| 11-20 | 8 |
| 21-30 | 10 |
| 31-40 | 6 |
| 41-50 | 3 |

Hitunglah kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3) dari data berkelompok ini.

Penyelesaian:

Dalam data berkelompok, kita perlu menggunakan rumus yang melibatkan interpolasi untuk menghitung kuartil, seperti pada Contoh Soal 3.

Dalam hal ini, kita memiliki kelas dengan batas bawah dan batas atas, dan lebar kelas adalah 10.

N = 32 (jumlah total data)

Fk25% = 8 (karena 25% x 32 = 8)

Fk75% = 24 (karena 75% x 32 = 24)

f = 10 (frekuensi kelas yang berisi Q1 atau Q3)

w = 10 (lebar kelas)

Sekarang, kita dapat menghitung Q1 dan Q3:

Q1 = 20 + (32/4 - 8) / 10 x 10 = 20 + (8 - 8) / 10 x 10 = 20

Q3 = 20 + (3 * 32/4 - 24) / 10 x 10 = 20 + (24 - 24) / 10] * 10 = 20

Jadi, dalam kasus ini, kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3) keduanya adalah 20.

5. Contoh Soal 5 (Data Berkelompok)

Diberikan data berkelompok berikut ini:

| Kelas | Frekuensi |
|-------|-----------|
| 0-9 | 3 |
| 10-19 | 8 |
| 20-29 | 7 |
| 30-39 | 5 |
| 40-49 | 2 |

Hitunglah kuartil pertama (Q1) dan kuartil ketiga (Q3) dari data berkelompok ini.

Penyelesaian:

Dalam data berkelompok, kita perlu menggunakan rumus yang melibatkan interpolasi untuk menghitung kuartil, seperti pada Contoh Soal 3.

Dalam hal ini, kita memiliki kelas dengan batas bawah dan batas atas, dan lebar kelas adalah 10.

N = 25 (jumlah total data)

Fk25% = 5 (karena 25% x 25 = 6.25), maka kita ambil 5)

Fk75% = 20 (karena 75% x 25 = 18.75), maka kita ambil 20)

f = 7 (frekuensi kelas yang berisi Q1 atau Q3)

w = 10 (lebar kelas)

Sekarang, kita dapat menghitung Q1 dan Q3:

Q1 = 10 + (25/4 - 5) / 7 x 10 = 10 + (6.25 - 5) / 7 x 10 = 10 + (1.25 / 7) x 10 = 10 + 1.7857 setara 11.79

Q3 = 10 + (3 x 25/4 - 20) / 7 x 10 = 10 + (18.75 - 20) / 7 x 10 = 10 + (-1.25 / 7) x 10 = 10 - 1.7857 setara 8.21

Jadi, kuartil pertama (Q1) adalah sekitar 11.79, dan kuartil ketiga (Q3) adalah sekitar 8.21.