Rumus limit tak hingga, lengkap dengan pengertian, fungsi dan cara mengerjakan contoh soalnya

Brilio.net - Sejak duduk di bangku kelas satu SMA kamu telah diperkenalkan dengan salah satu konsep matematika, yaitu rumus limit. Limit adalah suatu nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu. Limit bisa digunakan untuk mengetahui fungsi di dekat titik-titik tertentu, seperti titik diskontinuitas, titik tak hingga, atau titik asimtot.

Limit terdiri dari beberapa jenis seperti limit fungsi aljabar, limit fungsi trigonometri, dan limit tak hingga. Nah, pada artikel ini brilio.net fokus membahas tentang rumus limit tak hingga. Rumus limit tak hingga merupakan limit untuk menghitung batas (limit) ketika variabel mendekati tak hingga (positif atau negatif) dalam suatu fungsi.

Agar lebih memahami rumus limit tak hingga ini, simak ulasan lengkap tentang rumus limit tak hingga, lengkap dengan pengertian, fungsi dan cara mengerjakan contoh soalnya berikut ini. Dilansir brilio.net dari berbagai sumber pada Rabu (8/11).

Definisi limit tak hingga.

foto: freepik.com

Limit tak hingga adalah sebuah konsep matematika yang berkaitan dengan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tak terhingga, baik positif maupun negatif. Limit tak hingga bisa digunakan untuk menganalisis perilaku fungsi yang tidak terbatas, seperti pertumbuhan eksponensial, asimtot, dan seri tak hingga.

Secara umum, limit tak hingga suatu fungsi f(x) ketika x mendekati tak terhingga positif (∞) atau negatif (-∞) ditulis sebagai:

lim x → ∞ f(x) atau lim x → -∞ f(x)

Nilai limit tak hingga suatu fungsi bergantung pada bentuk dan fungsi tersebut. Ada beberapa rumus limit tak hingga yang bisa digunakan untuk menghitung nilai limit tak hingga suatu fungsi, terutama untuk fungsi berbentuk polinomial, pecahan, akar, dan eksponensial.

Fungsi limit tak hingga.

foto: freepik.com

Fungsi limit tak hingga adalah fungsi yang nilai limitnya adalah tak terhingga (∞ atau -∞) ketika variabelnya mendekati nilai tertentu atau tak terhingga.

Contoh fungsi limit tak hingga adalah:

- f(x) = x^2, maka lim x → ∞ f(x) = ∞ dan lim x → -∞ f(x) = ∞. Artinya, nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas ketika x semakin besar atau semakin kecil tanpa batas.

- f(x) = 1/x, maka lim x → ∞ f(x) = 0 dan lim x → -∞ f(x) = 0. Artinya, nilai f(x) akan semakin dekat ke nol ketika x semakin besar atau semakin kecil tanpa batas.

- f(x) = e^x, maka lim x → ∞ f(x) = ∞ dan lim x → -∞ f(x) = 0. Artinya, nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas ketika x semakin besar, dan semakin dekat ke nol ketika x semakin kecil tanpa batas.

Rumus limit tak hingga.

foto: freepik.com

Berikut adalah beberapa rumus limit tak hingga yang umum digunakan:

1. Untuk fungsi berbentuk pecahan, yaitu f(x) = g(x)/h(x), maka rumus limit tak hingga adalah:

- Jika pangkat tertinggi g(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi h(x), maka limit tak hingga f(x) adalah 0. Dengan kata lain, |g(x)|/|h(x)| → 0 ketika x → ±∞.

- Jika pangkat tertinggi g(x) sama dengan pangkat tertinggi h(x), maka limit tak hingga f(x) adalah rasio koefisien pangkat tertinggi g(x) dan h(x). Dengan kata lain, |g(x)|/|h(x)| → a/b ketika x → ±∞, di mana a dan b adalah koefisien pangkat tertinggi g(x) dan h(x).

- Jika pangkat tertinggi g(x) lebih besar dari pangkat tertinggi h(x), maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga (∞ atau -∞) sesuai dengan tanda koefisien pangkat tertinggi g(x) dan h(x). Dengan kata lain, |g(x)|/|h(x)| → ±∞ ketika x → ±∞, tergantung pada a dan b, di mana a dan b adalah koefisien pangkat tertinggi g(x) dan h(x).

2. Untuk fungsi berbentuk akar, yaitu f(x) = √(ax^2 + bx + c), maka rumus limit tak hingga adalah:

- Jika a > 0, maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga positif (∞). Dengan kata lain, √(ax^2 + bx + c) → ∞ ketika x → ±∞.

- Jika a < 0, maka limit tak hingga f(x) tidak ada, karena fungsi tidak terdefinisi untuk nilai x yang cukup besar. Dengan kata lain, √(ax^2 + bx + c) tidak memiliki limit ketika x → ±∞.

3. Untuk fungsi berbentuk eksponensial, yaitu f(x) = a^x, maka rumus limit tak hingga adalah:

- Jika a > 1, maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga positif (∞) ketika x → ∞, dan nol (0) ketika x → -∞. Dengan kata lain, a^x → ∞ ketika x → ∞, dan a^x → 0 ketika x → -∞.

- Jika 0 < a < 1, maka limit tak hingga f(x) adalah nol (0) ketika x → ∞, dan tak terhingga positif (∞) ketika x → -∞. Dengan kata lain, a^x → 0 ketika x → ∞, dan a^x → ∞ ketika x → -∞.

- Jika a = 1, maka limit tak hingga f(x) adalah satu (1) untuk setiap nilai x. Dengan kata lain, a^x → 1 ketika x → ±∞.

Contoh soal rumus tak hingga.

foto: freepik.com

1. Cari nilai limit tak hingga dari fungsi berikut:

f(x) = (2x^2 + 3x - 4) / (x^2 - 5x + 6)

Jawaban:

Nilai limit tak hingga f(x) bisa dicari dengan menggunakan rumus limit tak hingga untuk fungsi berbentuk pecahan, yaitu:

- Jika pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut, maka limit tak hingga f(x) adalah rasio koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut.

Dalam hal ini, pangkat tertinggi pembilang dan penyebut adalah 2, dan koefisien pangkat tertinggi pembilang adalah 2, sedangkan koefisien pangkat tertinggi penyebut adalah 1. Maka,

- lim x → ∞ f(x) = 2/1 = 2
- lim x → -∞ f(x) = 2/1 = 2

Artinya, nilai f(x) akan semakin dekat ke 2 ketika x semakin besar atau semakin kecil tanpa batas.

2. Cari nilai limit tak hingga dari fungsi berikut:

f(x) = √(x^2 + 1)

Jawaban:

Nilai limit tak hingga f(x) bisa dicari dengan menggunakan rumus limit tak hingga untuk fungsi berbentuk akar, yaitu:

- Jika koefisien pangkat tertinggi di dalam akar lebih besar dari nol, maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga positif.

Dalam hal ini, koefisien pangkat tertinggi di dalam akar adalah 1, yang lebih besar dari nol. Maka,

- lim x → ∞ f(x) = ∞
- lim x → -∞ f(x) = ∞

Artinya, nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas ketika x semakin besar atau semakin kecil tanpa batas.

3. Cari nilai limit tak hingga dari fungsi berikut:

f(x) = 2^x

Jawaban:

Nilai limit tak hingga f(x) bisa dicari dengan menggunakan rumus limit tak hingga untuk fungsi berbentuk eksponensial, yaitu:

- Jika basis eksponensial lebih besar dari satu, maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga positif ketika x mendekati tak terhingga positif, dan nol ketika x mendekati tak terhingga negatif.

Dalam hal ini, basis eksponensial adalah 2, yang lebih besar dari satu. Maka,

- lim x → ∞ f(x) = ∞
- lim x → -∞ f(x) = 0

Artinya, nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas ketika x semakin besar, dan semakin dekat ke nol ketika x semakin kecil tanpa batas.

4. Cari nilai limit tak hingga dari fungsi berikut:

f(x) = (3x^3 - 2x + 1) / (x^2 + x - 2)

Jawaban:

Nilai limit tak hingga f(x) bisa dicari dengan menggunakan rumus limit tak hingga untuk fungsi berbentuk pecahan, yaitu:

- Jika pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebut, maka limit tak hingga f(x) adalah tak terhingga sesuai dengan tanda koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut.

Dalam hal ini, pangkat tertinggi pembilang adalah 3, sedangkan pangkat tertinggi penyebut adalah 2. Koefisien pangkat tertinggi pembilang adalah 3, sedangkan koefisien pangkat tertinggi penyebut adalah 1. Maka,

- lim x → ∞ f(x) = ∞
- lim x → -∞ f(x) = -∞

Artinya, nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas ketika x semakin besar, dan semakin kecil tanpa batas ketika x semakin kecil.

5. Cari nilai limit tak hingga dari fungsi berikut:

f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 2x - 3)

Jawaban:

Nilai limit tak hingga f(x) bisa dicari dengan menggunakan rumus limit tak hingga untuk fungsi berbentuk pecahan, yaitu:

- Jika pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut, maka limit tak hingga f(x) adalah rasio koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut.

Dalam hal ini, pangkat tertinggi pembilang dan penyebut adalah 2, dan koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut adalah 1. Maka,

- lim x → ∞ f(x) = 1/1 = 1
- lim x → -∞ f(x) = 1/1 = 1

Artinya, nilai f(x) akan semakin dekat ke 1 ketika x semakin besar atau semakin kecil tanpa batas.