Rumus logaritma, beserta pengertian, sifat, dan contoh soal yang mudah dipahami

Brilio.net - Logaritma adalah salah satu materi matematika yang sering dianggap sulit dan rumit oleh banyak siswa. Padahal, logaritma memiliki banyak manfaat dan aplikasi dalam bidang sains, teknologi, dan kehidupan sehari-hari. Lantas, apa itu logaritma?

Nah, secara sederhana logaritma adalah operasi matematika yang berhubungan dengan pemangkatan atau eksponen. Rumus ini digunakan untuk menentukan berapa kali suatu bilangan pokok harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan numerusnya.

Untuk lebih lengkapnya, berikut brilio.net berikan ulasan lengkap tentang rumus logaritma, beserta pengertian, sifat, dan contoh soal yang mudah dipahami, dihimpun dari berbagai sumber pada Jumat (13/10).

Pengertian logaritma

foto: Istimewa

Logaritma adalah fungsi matematika yang membalik operasi eksponensial. Dalam matematika, logaritma digunakan untuk mengukur eksponen yang perlu ditingkatkan ke suatu basis (bilangan) tertentu untuk menghasilkan bilangan tertentu.

Dalam kata sederhana, logaritma menjawab pertanyaan "ke pangkat berapa basis tertentu harus dinaikkan untuk mendapatkan nilai tertentu?”. Logaritma adalah cara untuk menentukan berapa kali suatu bilangan pokok harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan numerus. Misalnya, jika 2 pangkat 3 sama dengan 8, maka logaritma basis 2 dari 8 adalah 3. Hal ini dapat ditulis sebagai:

2^3 = 8 atau 2 log 8 = 3

Logaritma umumnya ditulis sebagai berikut:

a log x = (c log x) / (c log a)

atau

Rumus umumnya:

log b (x) = y

Keterangan:

- Log b adalah fungsi logaritma dengan basis b.
- x adalah nilai yang ingin kita cari eksponennya.
- y adalah eksponen yang menghasilkan x saat ditingkatkan ke basis b.

Misalnya, jika kamu menemukan log2(8) = y, artinya kamu harus mencari eksponen y yang, saat bilangan 2 dinaikan ke pangkat y, menghasilkan 8. Jawabannya adalah y = 3, karena 2³ = 8.

Sifat-sifat logaritma yang penting diketahui

foto: Istimewa

1. Logaritma dari perkalian adalah penjumlahan logaritma: a log (b x c) = a log b + a log c

2. Logaritma dari pembagian adalah pengurangan logaritma: a log (b / c) = a log b - a log c

3. Logaritma dari perpangkatan adalah perkalian logaritma: a log (b^c) = c x a log b

4. Logaritma dari akar adalah pembagian logaritma: a log (b^(1/c)) = (1/c) x a log b

5. Logaritma dari bilangan pokok itu sendiri adalah satu: a log a = 1

6. Logaritma dari satu adalah nol: a log 1 = 0

Logaritma memiliki banyak aplikasi dalam bidang sains, teknologi, dan kehidupan sehari-hari. Misalnya, skala pH yang mengukur keasaman suatu larutan menggunakan logaritma basis 10. Skala Richter yang mengukur kekuatan gempa bumi juga menggunakan logaritma basis 10. Selain itu, logaritma juga digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan populasi, bunga majemuk, intensitas suara, dan lain-lain.

Contoh soal dan penyelesaian rumus logaritma

foto: pexels.com

1. Jika 2 log x = 3, maka nilai x adalah …

Jawaban:

x = 10^(3/2) = 31,62

Penjelasan:

Gunakan rumus perubahan basis logaritma: a log x = (10 log x) / (10 log a).

Dengan a = 2 dan 10 log x = 3,
maka 10 log a = 0,30103.
Jadi, x = 10^(3/0,30103) = 10^(3/2) = 31,62.

2. Jika 3^x + 3^(x+1) = 108, maka nilai x adalah …

Jawaban:

x = 2

Penjelasan:

Ubah persamaan menjadi bentuk pangkat yang sama: 3^x (1 + 3) = 108. Kemudian bagi kedua ruas dengan 4: 3^x = 27.

Lalu gunakan rumus perubahan basis logaritma: x log 3 = (10 log 27) / (10 log 3).

Dengan x log 3 = 2, maka x = (10 log 27) / (2 x 10 log 3)
= (1,43136) / (0,95424) = 1,5.
Jadi, x = 2.

3. Jika ln (x^2 + y^2) = ln x + ln y, maka nilai y adalah …

Jawaban:

y = ±x

Penjelasan:

Gunakan sifat logaritma dari perkalian: ln (a x b) = ln a + ln b.

Dengan a = x dan b = y, maka ln (x^2 + y^2) = ln x + ln y hanya berlaku jika x^2 + y^2 = xy.

Jadi, y^2 - xy + x^2 = 0.
Lalu gunakan rumus kuadratik untuk mencari nilai y: y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Dengan a = 1, b = -x, dan c = x^2, maka y = (-(-x) ± √((-x)^2 - 4(1)(x^2))) / (2(1)) = (x ± √(-3x^2)) / 2.

Karena akar dari bilangan negatif tidak ada dalam bilangan real, maka solusi yang mungkin adalah jika diskriminan sama dengan nol. Jadi, -3x^2 = 0 dan x = 0. Sehingga, y = ±x.

4. Jika log (x + y) = log x + log y, maka nilai y adalah …

Jawaban:

y = 0

Penjelasan:

Gunakan sifat logaritma dari perkalian: a log (b x c) = a log b + a log c.

Dengan a = 1 dan b = x, maka c = y. Jadi, log (x + y) = log x + log y hanya berlaku jika y = 0.

5. Jika log_5 (x + 2) = 2, maka nilai x adalah …

Jawaban:

x = 23

Penjelasan:

Gunakan rumus perubahan basis logaritma: a log x = (10 log x) / (10 log a).

Dengan a = 5 dan 10 log x = 2, maka 10 log a = 0,69897.

Jadi, x + 2 = 10^(2/0,69897) = 10^(2,8651) = 25. Lalu kurangi kedua ruas dengan 2: x = 25 - 2 = 23.

6. Jika ln (x^3 - y^3) = ln x + ln y, maka nilai y adalah …

Jawaban:

y = ±x

Penjelasan:

Gunakan sifat logaritma dari perkalian: ln (a x b) = ln a + ln b.

Dengan a = x dan b = y, maka ln (x^3 - y^3) = ln x + ln y hanya berlaku jika x^3 - y^3 = xy. Jadi, x^3 - xy - y^3 = 0.

Lalu gunakan rumus kubik untuk mencari nilai y: y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Dengan a = x^2, b = -x, dan c = -y^2, maka y = (-(-x) ± √((-x)^2 - 4(x2)(-y2))) / (2(x^2)) = (x ± √(x^2 + 4x4y2)) / (2x^2).

Karena akar dari bilangan negatif tidak ada dalam bilangan real, maka solusi yang mungkin adalah jika diskriminan sama dengan nol. Jadi, x^2 + 4x4y2 = 0 dan x = 0. Sehingga, y = ±x.