Rumus periode harmonik sederhana, beserta pengertian, sifat, dan contoh soal

Brilio.net - Di kehidupan sehari-hari, kamu pasti sudah nggak asing lagi dengan gerak harmonik sederhana. Sejak di bangku SMP tentu sudah diperkenalkan dengan gerak harmonik sederhana. Nah, gerak harmonik sederhana merupakan gerak bolak-balik secara teratur yang dilakukan oleh suatu benda melalui titik setimbangnya.

Gerak ini memiliki beberapa karakteristik, salah satunya adalah periode, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh. Pada artikel ini akan diulas tentang rumus periode harmonik sederhana. Rumus periode harmonik sederhana penting untuk dipelajari sebab sering muncul dalam soal-soal ujian fisika.

Berikut ulasan lengkap tentang rumus periode harmonik sederhana mulai dari pengertian, sifat, contoh soal dan cara mudah pengerjaannya, dilansir brilio.net dari berbagai sumber pada Jumat (3/11).

Apa itu periode harmonik sederhana?

foto: freepik.com

Periode harmonik adalah waktu yang dibutuhkan oleh suatu benda yang bergerak bolak-balik secara teratur melalui titik setimbangnya. Periode harmonik biasanya digunakan untuk mengukur frekuensi getaran, yaitu banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik. Periode harmonik dan frekuensi getaran memiliki hubungan terbalik, yaitu semakin besar periode, semakin kecil frekuensi, dan sebaliknya.

Periode harmonik dapat dihitung dengan rumus yang berbeda-beda tergantung pada jenis benda dan gaya pemulih yang bekerja pada benda tersebut. Beberapa contoh benda yang melakukan gerak harmonik sederhana adalah sistem pegas-massa, bandul sederhana, senar gitar, gelombang radio, dan denyut jantung.

Dengan demikian, dapat dipahami bahwa rumus periode harmonik sederhana mengacu pada waktu yang diperlukan oleh gelombang sinusoidal atau gelombang harmonik lainnya untuk menyelesaikan satu siklus, yaitu dari satu puncak (puncak positif) ke puncak berikutnya atau dari satu lembah (nilai negatif minimum) ke lembah berikutnya.

Periode harmonik diukur dalam satuan waktu, seperti detik, dan merupakan parameter penting dalam analisis gelombang, akustik, musik, dan berbagai bidang lainnya yang melibatkan fenomena gelombang atau getaran harmonik. Periode harmonik berkaitan secara terbalik dengan frekuensi gelombang; semakin pendek periode, semakin tinggi frekuensinya, dan sebaliknya.

 

 

Rumus periode harmonik sederhana.

foto: freepik.com

Ada beberapa rumus untuk menghitung periode harmonik sederhana, tergantung pada jenis benda dan gaya pemulih yang bekerja pada benda tersebut. Berikut ini adalah beberapa rumus yang umum digunakan:

1. Untuk sistem pegas-massa, rumus periode harmonik sederhana adalah:

T = 2π√(m/k)

Keterangan:

m adalah massa benda

k adalah konstanta pegas.

2. Untuk bandul sederhana, rumus periode harmonik sederhana adalah:

T = 2π√(l/g)

Keterangan:

l adalah panjang tali
g adalah percepatan gravitasi.

3. Untuk gerak harmonik sederhana secara umum, rumus periode harmonik sederhana adalah:

T = 1/f

Keterangan:

f adalah frekuensi getaran.

Frekuensi getaran dapat ditentukan dari persamaan gerak harmonik sederhana, yaitu y = A sin ωt,

Keterangan:

y adalah simpangan
A adalah amplitudo
ω adalah frekuensi sudut
t adalah waktu.

Frekuensi getaran adalah f = ω/2π.

Sifat-sifat rumus periode harmonik sederhana.

foto: freepik.com

Sifat-sifat periode harmonik sederhana adalah sifat-sifat yang berlaku untuk suatu gerakan bolak-balik secara teratur di sekitar titik keseimbangan. Sifat-sifat periode harmonik sederhana antara lain:

1. Gerakannya periodik, yaitu berulang-ulang dalam selang waktu yang sama.

2. Terdapat gaya pemulih yang mengarah ke titik keseimbangan dan berbanding lurus dengan simpangan benda dari titik keseimbangan.

3. Terdapat inersia yang menyebabkan benda melewati titik keseimbangan dan bergerak sampai simpangan maksimum (amplitudo).

4. Simpangan, kecepatan, percepatan, dan energi benda dapat dinyatakan dengan fungsi sinus atau kosinus terhadap waktu.

5. Periode gerakan hanya bergantung pada massa benda dan konstanta gaya pemulih, tidak bergantung pada amplitudo gerakan.

 

Contoh soal rumus periode harmonik sederhana.

foto: freepik.com

1. Sebuah benda bermassa 0,5 kg bergerak harmonik sederhana dengan amplitudo 0,2 m dan frekuensi 2 Hz. Tentukan periode, simpangan maksimum, kecepatan maksimum, dan percepatan maksimum benda tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 1/f, di mana f adalah frekuensi.

Jadi, T = 1/2 = 0,5 s.

- Simpangan maksimum (A) adalah jarak terjauh benda dari titik setimbangnya.

Nilainya sudah diketahui yaitu A = 0,2 m.

- Kecepatan maksimum (v maks) adalah kecepatan benda saat berada di titik setimbangnya.

Rumusnya adalah v maks = Aω, di mana ω adalah frekuensi sudut yang sama dengan 2πf.

Jadi, v maks = 0,2 x 2π x 2 = 2,51 m/s.

- Percepatan maksimum (a maks) adalah percepatan benda saat berada di titik simpangan maksimumnya.

Rumusnya adalah a maks = -Aω^2, di mana tanda minus menunjukkan arah percepatan yang berlawanan dengan arah simpangan.

Jadi, a maks = -0,2 x (2π x 2)^2 = -31,42 m/s^2.

2. Sebuah bandul sederhana memiliki panjang tali 1 m dan massa beban 0,1 kg. Jika bandul tersebut ditarik sejauh 10 cm dari posisi kesetimbangannya dan dilepaskan, tentukan periode, frekuensi, dan energi mekanik bandul tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 2π√(l/g), di mana l adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi (9,8 m/s^2).

Jadi, T = 2π√(1/9,8) = 2,01 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T.
Jadi, f = 1/2,01 = 0,5 Hz.

- Energi mekanik (E) adalah jumlah dari energi potensial gravitasi dan energi kinetik bandul.

Rumusnya adalah E = mgh + mv^2/2

Keterangan:
m adalah massa beban
h adalah ketinggian beban dari posisi terendahnya
v adalah kecepatan beban.

Karena energi mekanik bandul tetap konstan sepanjang geraknya, maka kita bisa menghitungnya saat bandul berada di titik simpangan maksimumnya.

Di titik itu, h = A dan v = 0. Jadi, E = mgA + mv^2/2 = mgA + 0 = mgA.

Nilai A sudah diketahui yaitu A = 0,1 m.

Jadi, E = 0,1 x 9,8 x 0,1 = 0,098 J.

3. Sebuah pegas memiliki konstanta pegas (k) sebesar 200 N/m. Benda dengan massa (m) sebesar 0,25 kg digantungkan pada pegas tersebut dan ditarik ke bawah sejauh (x) 5 cm dari posisi kesetimbangannya, kemudian dilepaskan. Tentukan periode (T), frekuensi (f), dan energi mekanik (E) sistem pegas-benda tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 2π√(m/k), di mana m adalah massa benda dan k adalah konstanta pegas.

Jadi, T = 2π√(0,25/200) = 0,88 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T.
Jadi, f = 1/0,88 = 1,14 Hz.

- Energi mekanik (E) adalah jumlah dari energi potensial pegas dan energi kinetik benda. Rumusnya adalah E = kx^2/2 + mv^2/2, di mana x adalah simpangan benda dari posisi kesetimbangannya, dan v adalah kecepatan benda.

Karena energi mekanik sistem pegas-benda tetap konstan sepanjang geraknya, maka kita bisa menghitungnya saat benda berada di titik simpangan maksimumnya.

Di titik itu, x = A dan v = 0. Jadi, E = kA^2/2 + mv^2/2 = kA^2/2 + 0 = kA^2/2. Nilai A sudah diketahui yaitu A = 0,05 m. Jadi, E = 200 x 0,05^2/2 = 0,25 J.

4. Sebuah benda bergerak harmonik sederhana dengan persamaan y = 0,1 sin (20πt), di mana y adalah simpangan benda dalam meter dan t adalah waktu dalam detik. Tentukan amplitudo (A), periode (T), frekuensi (f), frekuensi sudut (ω), simpangan benda saat t = 0,1 s, dan kecepatan benda saat t = 0,1 s.

Penyelesaian:

- Amplitudo (A) adalah jarak terjauh benda dari titik setimbangnya. Nilainya sama dengan koefisien sinus dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, A = 0,1 m.

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Nilainya sama dengan 2π dibagi dengan koefisien t dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, T = 2π/(20π) = 0,1 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T. Jadi, f = 1/0,1 = 10 Hz.

- Frekuensi sudut (ω) adalah besarnya sudut yang ditempuh oleh benda dalam satu detik.

Rumusnya adalah ω = 2πf.
Jadi, ω = 2π x 10 = 20π rad/s.

- Simpangan benda saat t = 0,1 s dapat dicari dengan mengganti nilai t dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, y = 0,1 sin (20π x 0,1) = 0,1 sin (2π) = 0 m.

- Kecepatan benda saat t = 0,1 s dapat dicari dengan mengambil turunan pertama dari persamaan gerak harmonik sederhana terhadap t.

Jadi, v = dy/dt = 0,1 x 20π cos (20πt) = 2π cos (20πt).

Kemudian, ganti nilai t dengan 0,1 s. Jadi, v = 2π cos (20π x 0,1) = 2π cos (2π) = -6,28 m/s.