Rumus periode harmonik sederhana, beserta pengertian, sifat, dan contoh soal

Contoh soal rumus periode harmonik sederhana.

foto: freepik.com

1. Sebuah benda bermassa 0,5 kg bergerak harmonik sederhana dengan amplitudo 0,2 m dan frekuensi 2 Hz. Tentukan periode, simpangan maksimum, kecepatan maksimum, dan percepatan maksimum benda tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 1/f, di mana f adalah frekuensi.

Jadi, T = 1/2 = 0,5 s.

- Simpangan maksimum (A) adalah jarak terjauh benda dari titik setimbangnya.

Nilainya sudah diketahui yaitu A = 0,2 m.

- Kecepatan maksimum (v maks) adalah kecepatan benda saat berada di titik setimbangnya.

Rumusnya adalah v maks = Aω, di mana ω adalah frekuensi sudut yang sama dengan 2πf.

Jadi, v maks = 0,2 x 2π x 2 = 2,51 m/s.

- Percepatan maksimum (a maks) adalah percepatan benda saat berada di titik simpangan maksimumnya.

Rumusnya adalah a maks = -Aω^2, di mana tanda minus menunjukkan arah percepatan yang berlawanan dengan arah simpangan.

Jadi, a maks = -0,2 x (2π x 2)^2 = -31,42 m/s^2.

2. Sebuah bandul sederhana memiliki panjang tali 1 m dan massa beban 0,1 kg. Jika bandul tersebut ditarik sejauh 10 cm dari posisi kesetimbangannya dan dilepaskan, tentukan periode, frekuensi, dan energi mekanik bandul tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 2π√(l/g), di mana l adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi (9,8 m/s^2).

Jadi, T = 2π√(1/9,8) = 2,01 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T.
Jadi, f = 1/2,01 = 0,5 Hz.

- Energi mekanik (E) adalah jumlah dari energi potensial gravitasi dan energi kinetik bandul.

Rumusnya adalah E = mgh + mv^2/2

Keterangan:
m adalah massa beban
h adalah ketinggian beban dari posisi terendahnya
v adalah kecepatan beban.

Karena energi mekanik bandul tetap konstan sepanjang geraknya, maka kita bisa menghitungnya saat bandul berada di titik simpangan maksimumnya.

Di titik itu, h = A dan v = 0. Jadi, E = mgA + mv^2/2 = mgA + 0 = mgA.

Nilai A sudah diketahui yaitu A = 0,1 m.

Jadi, E = 0,1 x 9,8 x 0,1 = 0,098 J.

3. Sebuah pegas memiliki konstanta pegas (k) sebesar 200 N/m. Benda dengan massa (m) sebesar 0,25 kg digantungkan pada pegas tersebut dan ditarik ke bawah sejauh (x) 5 cm dari posisi kesetimbangannya, kemudian dilepaskan. Tentukan periode (T), frekuensi (f), dan energi mekanik (E) sistem pegas-benda tersebut.

Penyelesaian:

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Rumusnya adalah T = 2π√(m/k), di mana m adalah massa benda dan k adalah konstanta pegas.

Jadi, T = 2π√(0,25/200) = 0,88 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T.
Jadi, f = 1/0,88 = 1,14 Hz.

- Energi mekanik (E) adalah jumlah dari energi potensial pegas dan energi kinetik benda. Rumusnya adalah E = kx^2/2 + mv^2/2, di mana x adalah simpangan benda dari posisi kesetimbangannya, dan v adalah kecepatan benda.

Karena energi mekanik sistem pegas-benda tetap konstan sepanjang geraknya, maka kita bisa menghitungnya saat benda berada di titik simpangan maksimumnya.

Di titik itu, x = A dan v = 0. Jadi, E = kA^2/2 + mv^2/2 = kA^2/2 + 0 = kA^2/2. Nilai A sudah diketahui yaitu A = 0,05 m. Jadi, E = 200 x 0,05^2/2 = 0,25 J.

4. Sebuah benda bergerak harmonik sederhana dengan persamaan y = 0,1 sin (20πt), di mana y adalah simpangan benda dalam meter dan t adalah waktu dalam detik. Tentukan amplitudo (A), periode (T), frekuensi (f), frekuensi sudut (ω), simpangan benda saat t = 0,1 s, dan kecepatan benda saat t = 0,1 s.

Penyelesaian:

- Amplitudo (A) adalah jarak terjauh benda dari titik setimbangnya. Nilainya sama dengan koefisien sinus dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, A = 0,1 m.

- Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran penuh.

Nilainya sama dengan 2π dibagi dengan koefisien t dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, T = 2π/(20π) = 0,1 s.

- Frekuensi (f) adalah banyaknya getaran yang terjadi dalam satu detik.

Rumusnya adalah f = 1/T. Jadi, f = 1/0,1 = 10 Hz.

- Frekuensi sudut (ω) adalah besarnya sudut yang ditempuh oleh benda dalam satu detik.

Rumusnya adalah ω = 2πf.
Jadi, ω = 2π x 10 = 20π rad/s.

- Simpangan benda saat t = 0,1 s dapat dicari dengan mengganti nilai t dalam persamaan gerak harmonik sederhana.

Jadi, y = 0,1 sin (20π x 0,1) = 0,1 sin (2π) = 0 m.

- Kecepatan benda saat t = 0,1 s dapat dicari dengan mengambil turunan pertama dari persamaan gerak harmonik sederhana terhadap t.

Jadi, v = dy/dt = 0,1 x 20π cos (20πt) = 2π cos (20πt).

Kemudian, ganti nilai t dengan 0,1 s. Jadi, v = 2π cos (20π x 0,1) = 2π cos (2π) = -6,28 m/s.