Rumus rotasi transformasi geometri, beserta pengertian, sifat, dan cara pengerjaannya

Rumus rotasi transformasi geometri.

foto: freepik.com

Rotasi adalah perputaran suatu objek sebesar sudut tertentu terhadap suatu titik pusat. Rotasi tidak mengubah bentuk dan ukuran objek, hanya mengubah arahnya. Contohnya, saat kita memutar kunci di gembok, kunci tersebut mengalami rotasi. Rumus rotasi untuk titik (x,y) yang diputar sebesar θ derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (0,0) atau (a,b) adalah:

x′ = xcosθ − ysinθ

y′ = xsinθ + ycosθ

Keterangan:

x′ dan y′ adalah koordinat titik bayangan setelah rotasi

x dan y adalah koordinat titik awal sebelum rotasi

θ adalah sudut rotasi yang diukur berlawanan arah jarum jam
Titik pusat rotasi adalah (0,0)

Rumus ini berlaku jika titik pusat rotasi adalah (0,0).

Jika titik pusat rotasi adalah (a,b), maka rumusnya menjadi:

x′ = (x − a)cosθ − (y − b)sinθ + a

y′ = (x − a)sinθ + (y − b)cosθ + b

Contoh soal rotasi transformasi geometri.

foto: freepik.com

Soal 1

Titik A(2,3) diputar sebesar 180 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat titik bayangan A’!

Jawab:

Rumus rotasi terhadap titik pusat (0,0) adalah:

x′ = xcosθ − ysinθ

y′ = xsinθ + ycosθ

Keterangan:

(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan setelah rotasi

(x,y) adalah koordinat titik asal sebelum rotasi

θ adalah sudut rotasi yang diukur berlawanan arah jarum jam

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

x′ = 2cos180° − 3sin180°

y′ = 2sin180° + 3cos180°

Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri untuk mencari nilai cosinus dan sinus:

x′n=n2(−1) − 3(0)

y′ = 2(0) + 3(−1)

Sederhanakan hasilnya:

x′ = −2

y′ = −3

Jadi, koordinat titik bayangan A’ adalah (−2,−3).

Soal 2

Titik B(-4,5) diputar sebesar 90 derajat searah jarum jam terhadap titik pusat P(1,2). Tentukan koordinat titik bayangan B’!

Jawab:

Rumus rotasi terhadap titik pusat (a,b) adalah:

x′ =( x − a)cosθ − (y − b)sinθ + a

y′ = (x − a)sinθ + (y − b)cosθ + b

Keterangan:

(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan setelah rotasi

(x,y) adalah koordinat titik asal sebelum rotasi

θ adalah sudut rotasi yang diukur berlawanan arah jarum jam

(a,b) adalah koordinat titik pusat rotasi

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

x′ = (−4 −1)cos(−90°) − (5−2)sin(−90°) + 1

y′ = (−4 −1)sin(−90°) + (5 − 2)cos(−90°) + 2

Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri untuk mencari nilai cosinus dan sinus:

x′ = (−5)(0) − (3)(−1) + 1

y′ =( −5)(−1) + (3)(0) + 2

Sederhanakan hasilnya:

x′ = 4

y′ = 7

Jadi, koordinat titik bayangan B’ adalah (4,7).

Soal 3

Titik C(3,-2) diputar sebesar -45 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat titik bayangan C’!

Jawab:

Rumus rotasi terhadap titik pusat (0,0) adalah:
x′ =xcosθ − ysinθ

y′ = xsinθ + ycosθ

Keterangan:

(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan setelah rotasi

(x,y) adalah koordinat titik asal sebelum rotasi

θ adalah sudut rotasi yang diukur berlawanan arah jarum jam

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

x′ = 3cos(−45°) − (−2)sin(−45°)

y′ = 3sin(−45°) + (−2)cos(−45°)

Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri untuk mencari nilai cosinus dan sinus:

x′ = 3 (√2/2) - (-2)(√2/2)

y′ = 3(-√2/2) + (-2)(√2/2)

Sederhanakan hasilnya:

x′ = 5√2/2

y′ = 5√2/2

Jadi, koordinat titik bayangan C’ adalah (5√2/2, - 5√2/2)

Soal 4

Titik D(1,4) diputar sebesar 60 derajat searah jarum jam terhadap titik pusat Q(-1,1). Tentukan koordinat titik bayangan D’!

Jawab:

Rumus rotasi terhadap titik pusat (a,b) adalah:

x′ = (x − a)cosθ − (y − b)sinθ + a

y′ = (x − a)sinθ + (y − b)cosθ + b

Keterangan:

(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan setelah rotasi

(x,y) adalah koordinat titik asal sebelum rotasi

θ adalah sudut rotasi yang diukur berlawanan arah jarum jam

(a,b) adalah koordinat titik pusat rotasi

Substitusi nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:

x′ = (1 − (−1))cos(60°) − (4 − 1)sin(60°) + (−1)

y′ = (1 − (−1))sin(60°) + (4 − 1)cos(60°) + 1

Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri untuk mencari nilai cosinus dan sinus:

x′ = (2)(1/2) - (3)(√3/2) + (-1)

y′ = (2)(√3/2) + 3 (1/2) + 1

Sederhanakan hasilnya:

x′ = -√3/2 - 1

y′ = (√3 + 3

Jadi, koordinat titik bayangan D’ adalah (-√3/2 - 1, √3 + 3).