Rumus sumbu simetri dan nilai optimum fungsi kuadrat, pengertian, sifat, beserta contoh soalnya

Brilio.net - Salah satu materi matematika yang wajib dipahami adalah rumus yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinom yang memiliki pangkat tertinggi 2 (dua) pada variabelnya. Fungsi kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk umum f(x) = ax^2 + bx + c, dengan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, yaitu kurva berbentuk U atau terbalik.

Nah, dalam ilmu matematika salah satu persamaan yang bisa diselesaikan dengan fungsi kuadrat adalah sumbu simetri dan nilai optimum. Lantas apa itu sumbu simetri dan nilai optimum itu? Pada artikel ini brilio.net akan mengulik rumus seputar sumbu simetri dan nilai optimum fungsi kuadrat.

Rumus sumbu simetri dan nilai optimum kerap muncul dalam soal-soal ujian di sekolah. Oleh sebab itu, bagi kamu yang penasaran bagaimana cara menyelesaikan soal seputar sumbu simetri dan nilai optimum dari fungsi kuadrat maka wajib pantengin artikel ini hingga selesai.

Yuk simak ulasan lengkap rumus sumbu simetri dan nilai optimum, yang dilansir brilio.net dari berbagai sumber, Jumat (8/12).

Pengertian sumbu simetri dan nilai optimum.

foto: freepik.com

Dalam matematika, rumus sumbu simetri adalah persamaan yang menghubungkan titik-titik simetris terhadap suatu sumbu. Sumbu simetri adalah garis yang membagi suatu objek menjadi dua bagian yang sama.

Rumus sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dirumuskan sebagai berikut:

x = -b/2a, dengan fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + c.

Keterangan:

- x adalah titik sumbu simetri
- b adalah koefisien x dari fungsi kuadrat
- a adalah koefisien x² dari fungsi kuadrat

Sementara itu, definisi nilai optimum dari fungsi kuadrat merupakan nilai yang sebesar–besarnya (maksimum) atau nilai yang sekecil–kecilnya (minimum).

Nilai maksimum dan atau minimum biasa dikenal sebagai bentuk objektif atau fungsi objektif atau fungsi sasaran atau fungsi tujuan.

Dalam konteks fungsi kuadrat, nilai optimum dapat dicari menggunakan rumus perhitungan berikut ini:

y = -D/4a, dengan D = b^2 - 4ac

Sifat-sifat sumbu simetri dan nilai optimum.

foto: freepik.com

Berikut adalah beberapa sifat rumus sumbu simetri dan nilai optimum pada fungsi kuadrat:

1. Sumbu simetri selalu tegak lurus terhadap garis singgung pada titik puncak parabola.

2. Sumbu simetri selalu melewati titik puncak parabola.

3. Nilai optimum selalu merupakan nilai minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat, tergantung pada apakah parabola menghadap ke atas atau ke bawah.

4. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat positif, maka parabola menghadap ke atas. Sebaliknya, jika nilai a negatif, maka parabola menghadap ke bawah.

5. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat semakin mendekati nol, maka parabola semakin datar dan semakin mendekati garis lurus.

6. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat semakin jauh dari nol, maka parabola semakin curam dan semakin mendekati garis vertikal.

Contoh soal seputar rumus sumbu simetri dan nilai optimum serta pembahasannya.

foto: freepik.com

1. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2x^2 - 4x + 3. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 2, b = -4, dan c = 3

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -(-4) / 2(2) = 1.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 1.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8. Sehingga, y = -(-8) / 4(2) = 1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (1, 1).

2. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -x^2 + 6x - 5. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -1, b = 6, dan c = -5

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -6 / 2(-1) = 3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac.

Maka, D = 6^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16. Sehingga, y = -16 / 4(-1) = 4.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 4.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 3 dan y = 4 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (3, 4).

3. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x^2 - 6x + 8. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 1, b = -6, dan c = 8

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -(-6) / 2(1) = 3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4. Sehingga, y = -4 / 4(1) = -1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = -1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 3 dan y = -1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (3, -1).

4. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 + 4x - 1. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -2, b = 4, dan c = -1

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -4 / 2(-2) = 1.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 1.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 4^2 - 4(-2)(-1) = 16 - 8 = 24. Sehingga, y = -24 / 4(-2) = 3.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 3.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 3 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (1, 3).

5. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x^2 + 6x + 9. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 1, b = 6, dan c = 9

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -6 / 2(1) = -3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = -3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 6^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0. Sehingga, y = -0 / 4(1) = 0.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 0.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = -3 dan y = 0 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (-3, 0).

6. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -x^2 + 4x - 3. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -1, b = 4, dan c = -3

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -4 / 2(-1) = 2.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 2.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4. Sehingga, y = -4 / 4(-1) = 1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (2, 1).