Rumus sumbu simetri dan nilai optimum fungsi kuadrat, pengertian, sifat, beserta contoh soalnya

Sifat-sifat sumbu simetri dan nilai optimum.

foto: freepik.com

Berikut adalah beberapa sifat rumus sumbu simetri dan nilai optimum pada fungsi kuadrat:

1. Sumbu simetri selalu tegak lurus terhadap garis singgung pada titik puncak parabola.

2. Sumbu simetri selalu melewati titik puncak parabola.

3. Nilai optimum selalu merupakan nilai minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat, tergantung pada apakah parabola menghadap ke atas atau ke bawah.

4. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat positif, maka parabola menghadap ke atas. Sebaliknya, jika nilai a negatif, maka parabola menghadap ke bawah.

5. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat semakin mendekati nol, maka parabola semakin datar dan semakin mendekati garis lurus.

6. Jika nilai a pada rumus fungsi kuadrat semakin jauh dari nol, maka parabola semakin curam dan semakin mendekati garis vertikal.

Contoh soal seputar rumus sumbu simetri dan nilai optimum serta pembahasannya.

foto: freepik.com

1. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2x^2 - 4x + 3. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 2, b = -4, dan c = 3

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -(-4) / 2(2) = 1.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 1.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8. Sehingga, y = -(-8) / 4(2) = 1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (1, 1).

2. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -x^2 + 6x - 5. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -1, b = 6, dan c = -5

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -6 / 2(-1) = 3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac.

Maka, D = 6^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16. Sehingga, y = -16 / 4(-1) = 4.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 4.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 3 dan y = 4 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (3, 4).

3. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x^2 - 6x + 8. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 1, b = -6, dan c = 8

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -(-6) / 2(1) = 3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4. Sehingga, y = -4 / 4(1) = -1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = -1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 3 dan y = -1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (3, -1).

4. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 + 4x - 1. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -2, b = 4, dan c = -1

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -4 / 2(-2) = 1.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 1.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 4^2 - 4(-2)(-1) = 16 - 8 = 24. Sehingga, y = -24 / 4(-2) = 3.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 3.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 1 dan y = 3 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (1, 3).

5. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x^2 + 6x + 9. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = 1, b = 6, dan c = 9

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -6 / 2(1) = -3.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = -3.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 6^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0. Sehingga, y = -0 / 4(1) = 0.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 0.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = -3 dan y = 0 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (-3, 0).

6. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -x^2 + 4x - 3. Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a = -1, b = 4, dan c = -3

- Sumbu simetri dapat dicari dengan rumus x = -b / 2a. Maka, x = -4 / 2(-1) = 2.

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 2.

- Nilai optimum dapat dicari dengan rumus y = -D / 4a, dengan D = b^2 - 4ac. Maka, D = 4^2 - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4. Sehingga, y = -4 / 4(-1) = 1.

Jadi, nilai optimumnya adalah y = 1.

- Titik optimum dapat dicari dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 ke dalam fungsi kuadrat. Maka, titik optimumnya adalah (2, 1).