Rumus varians data tunggal dalam statistika, beserta pengertian, jenis, dan cara menghitungnya

Brilio.net - Rumus varians data tunggal merupakan hal yang wajib kamu pelajari jika mempelajari statistik. Namun, terkadang kamu bingung bagaimana cara menghitungnya. Pasalnya rumus varians data terkesan rumit untuk diselesaikan.

Padahal, jika ditelusuri lebih jauh sebenarnya varians data tunggal itu sangat mudah kok. Asalkan kamu paham dasar varians data itu sendiri.

Nah, varians data tunggal adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar penyebaran data dari nilai rata-ratanya. Supaya kamu lebih paham tentang rumus varians data tunggal, berikut brilio.net sajikan penjelasan lengkapnya mulai dari pengertian, jenis, rumus dan cara menghitungnya, yang dirangkum dari berbagai sumber, Senin (15/10). Yuk simak selengkapnya.

Pengertian dan rumus varians data tunggal

foto: freepik.com

Dalam statistika, "varians data tunggal" atau "varians sampel tunggal" merujuk pada pengukuran sebaran data atau variasi data di dalam satu set data tunggal. Varians mengukur sejauh mana set data menyebar atau berkisar di sekitar nilai rata-ratanya. Semakin besar varians, semakin besar variasi data, sedangkan semakin kecil varians, semakin mendekati nilai rata-rata.

Merujuk pendapat Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers dalam buku "Probability & Statistics for Engineers & Scientists" (2007), varians data tunggal adalah "pengukuran dari variasi atau sebaran data tunggal di sekitar nilai rata-rata. Varians mengukur sejauh mana data tersebar dari rata-rata, dengan nilai varians yang lebih tinggi menunjukkan bahwa data lebih tersebar atau bervariasi."

Sementara, menurut George W. Snedecor dan William G. Cochran dalam buku "Statistical Methods" (1989), varians data tunggal adalah "ukuran kuadrat dari deviasi atau selisih antara masing-masing data individu dan rata-rata, yang kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah data. Ini memberikan informasi tentang sebaran data dan heterogenitas data."

Dengan kata lain, varians data tunggal adalah cara untuk mengukur sebaran data di sekitar nilai rata-rata. Cara ukur ini merupakan konsep penting dalam statistika yang membantu kita memahami karakteristik variabilitas dalam kumpulan data tunggal.

Semakin besar variansnya, semakin besar variasi atau sebaran data tersebut. Sementara varians yang lebih kecil menunjukkan bahwa data lebih mendekati nilai rata-rata.

Rumus umum untuk menghitung varians data tunggal adalah:

Varians (σ^2) = Σ(xi - μ)^2 / N

Di mana:
- σ^2 adalah varians.
- Σ (sigma) adalah simbol untuk menjumlahkan.
- xi adalah setiap nilai dalam data tunggal.
- μ (mu) adalah nilai rata-rata dari data tunggal.
- N adalah jumlah total nilai dalam data tunggal.

Proses perhitungan varians melibatkan langkah-langkah berikut:

1. Hitung nilai rata-rata data tunggal (μ).
2. Selisihkan setiap nilai dalam data dengan nilai rata-ratanya (xi - μ).
3. Kuadratkan selisih ini [(xi - μ)^2].
4. Jumlahkan semua nilai kuadrat tersebut (Σ(xi - μ)^2).
5. Bagi jumlah ini dengan jumlah total nilai dalam data tunggal (N) untuk mendapatkan varians (σ^2).

Varians merupakan salah satu ukuran penting dalam statistika dan digunakan untuk memahami sebaran data. Nilai varians yang tinggi menunjukkan bahwa data lebih tersebar atau bervariasi, sementara nilai varians yang rendah menunjukkan bahwa data cenderung lebih dekat dengan nilai rata-rata.

 

 

 

Jenis-jenis varians data tunggal dalam statistika.

foto: freepik.com

Dalam statistika, terdapat beberapa jenis varians data tunggal yang dapat digunakan, tergantung pada konteks dan tujuan analisis. Beberapa jenis varians data tunggal yang umum meliputi:

1. Varians Sampel (Sample Variance)

Varians sampel digunakan untuk mengukur sebaran data dalam sampel yang diambil dari populasi. Rumusnya adalah seperti yang telah dijelaskan sebelumnya:

Varians (s^2) = Σ(xi - x)^2 / (n - 1)

Keterangan:
x adalah rata-rata sampel
xi adalah setiap nilai dalam sampel
n adalah ukuran sampel.

2. Varians Populasi (Population Variance)

Varians populasi digunakan untuk mengukur sebaran data dalam populasi seluruhnya. Rumusnya mirip dengan varians sampel, tetapi menggunakan seluruh populasi sebagai dasar, dan pembaginya adalah jumlah populasi (N) bukan n-1:

Varians (σ^2) = Σ(xi - μ)^2 / N

Keterangan:
μ adalah rata-rata populasi
xi adalah setiap nilai dalam populasi
N adalah ukuran populasi.

3. Varians Median (Median Absolute Deviation, MAD)

Varians median adalah ukuran alternatif sebaran data yang menggunakan median sebagai pembanding, bukan rata-rata. Ini dihitung dengan mengambil selisih absolut antara setiap data dan median, kemudian menghitung median dari seluruh selisih ini.

4. Varians Dalam Eksperimen (Experimental Variance)

Varians dalam eksperimen adalah ukuran variasi data dalam suatu eksperimen atau pengamatan. Ini mungkin berbeda dari varians sampel atau populasi, tergantung pada konteks eksperimen dan pengukuran yang digunakan.

5. Varians Berbobot (Weighted Variance)

Varians berbobot digunakan ketika setiap nilai dalam data memiliki bobot atau pentingannya sendiri. Rumusnya akan memperhitungkan bobot ini dalam mengukur sebaran data.

6. Varians Berpengali (Scaled Variance)

Varians berpengali adalah jenis varians yang mengukur sebaran data dengan faktor pengali tertentu, yang seringkali digunakan dalam analisis statistik.

Contoh soal varians data tunggal.

foto: freepik.com

Contoh soal 1

Sebuah toko pakaian mencatat penjualan harian dalam lima hari terakhir: 150, 160, 140, 170, dan 155. Hitunglah varians penjualan harian ini.

Jawaban:

Langkah 1: Hitung rata-rata (x):
(x) = (150 + 160 + 140 + 170 + 155) / 5 = 775 / 5 = 155

Langkah 2: Hitung selisih antara setiap nilai dan rata-rata, lalu kuadratkan selisihnya:

(150 - 155)^2 = 25
(160 - 155)^2 = 25
(140 - 155)^2 = 225
(170 - 155)^2 = 25
(155 - 155)^2 = 0

Langkah 3: Jumlahkan semua hasil kuadrat di atas:
25 + 25 + 225 + 25 + 0 = 300

Langkah 4: Hitung varians (σ^2):
Varians (σ^2) = 300 / (5 - 1) = 300 / 4 = 75

Jadi, varians penjualan harian adalah 75.

Contoh soal 2

Sebuah kelompok siswa mengambil ujian matematika dengan skor berikut: 80, 85, 90, 92, dan 78. Hitunglah varians skor ujian ini.

Jawaban:

Langkah 1: Hitung rata-rata (x):
(x) = (80 + 85 + 90 + 92 + 78) / 5 = 425 / 5 = 85

Langkah 2: Hitung selisih antara setiap nilai dan rata-rata, lalu kuadratkan selisihnya:

(80 - 85)^2 = 25
(85 - 85)^2 = 0
(90 - 85)^2 = 25
(92 - 85)^2 = 49
(78 - 85)^2 = 49

Langkah 3: Jumlahkan semua hasil kuadrat di atas:
25 + 0 + 25 + 49 + 49 = 148

Langkah 4: Hitung varians (σ^2):
Varians (σ^2) = 148 / (5 - 1) = 148 / 4 = 37

Jadi, varians skor ujian adalah 37.

Contoh soal 3

Sebuah restoran mencatat waktu tunggu pelanggan dalam menit: 5, 7, 3, 6, dan 5. Hitunglah varians waktu tunggu ini.

Jawaban:

Langkah 1: Hitung rata-rata (x):
(x) = (5 + 7 + 3 + 6 + 5) / 5 = 26 / 5 = 5.2

Langkah 2: Hitung selisih antara setiap nilai dan rata-rata, lalu kuadratkan selisihnya:

(5 - 5.2)^2 = 0.04
(7 - 5.2)^2 = 3.24
(3 - 5.2)^2 = 4.84
(6 - 5.2)^2 = 0.64
(5 - 5.2)^2 = 0.04

Langkah 3: Jumlahkan semua hasil kuadrat di atas:
0.04 + 3.24 + 4.84 + 0.64 + 0.04 = 13.8

Langkah 4: Hitung varians (σ^2):
Varians (σ^2) = 13.8 / (5 - 1) = 13.8 / 4 = 3.45

Jadi, varians waktu tunggu adalah 3.45 menit.

Contoh soal 4

Sebuah perusahaan mengukur waktu yang diperlukan oleh dua mesin berbeda untuk menyelesaikan tugas yang sama. Mesin A membutuhkan 6, 7, 8, 9, dan 10 jam, sementara Mesin B membutuhkan 7, 7, 7, 7, dan 7 jam. Hitunglah varians waktu yang diperlukan oleh masing-masing mesin.

Jawaban:

Varians Mesin A:

- Hitung rata-rata: (6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 5 = 8.
- Hitung selisih dan kuadratkan selisihnya: (6 - 8)^2 = 4, (7 - 8)^2 = 1, (8 - 8)^2 = 0, (9 - 8)^2 = 1, (10 - 8)^2 = 4.
- Jumlahkan hasil kuadrat: 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.
- Hitung varians: 10 / (5 - 1) = 10 / 4 = 2.5.

Varians Mesin B:

- Hitung rata-rata: (7 + 7 + 7 + 7 + 7) / 5 = 7.
- Hitung selisih dan kuadratkan selisihnya: (7 - 7)^2 = 0.
- Jumlahkan hasil kuadrat: 0.
- Hitung varians: 0 / (5 - 1) = 0.

Jadi, varians Mesin A adalah 2.5, sementara varians Mesin B adalah 0.

Contoh soal 5

Seorang mahasiswa mencatat waktu yang dibutuhkan untuk mencapai kampus selama lima hari terakhir: 20, 25, 30, 22, dan 18 menit. Hitunglah varians waktu perjalanan ini.

Jawaban:

Langkah 1: Hitung rata-rata (x):
(x) = (20 + 25 + 30 + 22 + 18) / 5 = 115 / 5 = 23.

Langkah 2: Hitung selisih antara setiap nilai dan rata-rata, lalu kuadratkan selisihnya:

(20 - 23)^2 = 9
(25 - 23)^2 = 4
(30 - 23)^2 = 49
(22 - 23)^2 = 1
(18 - 23)^2 = 25

Langkah 3: Jumlahkan semua hasil kuadrat di atas:
9 + 4 + 49 + 1 + 25 = 88.

Langkah 4: Hitung varians (σ^2):
Varians (σ^2) = 88 / (5 - 1) = 88 / 4 = 22.

Jadi, varians waktu perjalanan adalah 22 menit.

Contoh soal 6

Sebuah tim basket mencatat jumlah poin yang dicetak oleh seorang pemain dalam 10 pertandingan terakhir: 12, 15, 18, 14, 17, 19, 13, 15, 16, dan 14. Hitunglah varians jumlah poin yang dicetak oleh pemain ini.

Jawaban:

Langkah 1: Hitung rata-rata (x):
(x) = (12 + 15 + 18 + 14 + 17 + 19 + 13 + 15 + 16 + 14) / 10 = 153 / 10 = 15.3.

Langkah 2: Hitung selisih antara setiap nilai dan rata-rata, lalu kuadratkan selisihnya:

(12 - 15.3)^2 = 11.41
(15 - 15.3)^2 = 0.09
(18 - 15.3)^2 = 7.29
(14 - 15.3)^2 = 1.69
(17 - 15.3)^2 = 2.89
(19 - 15.3)^2 = 13.51
(13 - 15.3)^2 = 5.29
(15 - 15.3)^2 = 0.09
(16 - 15.3)^2 = 0.49
(14 - 15.3)^2 = 1.69

Langkah 3: Jumlahkan semua hasil kuadrat di atas:
11.41 + 0.09 + 7.29 + 1.69 + 2.89 + 13.51 + 5.29 + 0.09 + 0.49 + 1.69 = 44.35.

Langkah 4: Hitung varians (σ^2):
Varians (σ^2) = 44.35 / (10 - 1) = 44.35 / 9 ≈ 4.93.

Jadi, varians jumlah poin yang dicetak oleh pemain adalah sekitar 4.93.